Zeigen der Ableitung mittels Differentialquotient

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metriod Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen der Ableitung mittels Differentialquotient
Hallo,

ich soll mittels Differentialquotient zeigen, ob für nachstehende Funktionen eine Ableitung bei x=0 existiert:

a)
b)


zu a)
Für x >= 0 ist x positiv
Für x < = ist x negativ.

Ist es nun richtig, dass ich den links- sowie rechtsseitigen Grenzwert berechne?
Also:


.

Daher ist a) nicht differenzierbar?

Edit von lgrizu: latex korrigiert
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen der Ableitung mittels Differentialquotient
Zitat:
Original von metriod

Also:


.



Für welche Funktion soll das der Differentialqoutient sein?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich wohl was verwurschtelt. Ich glaub ich gönn mir lieber eine Runde Schlaf nachdem ich heute den ganzen Tag Mathe gelernt habe und schau mir das Beispiel morgen wieder an!

Danke fürs Erste!
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich trau mich wieder ran an die Aufgabe.

Erstmal Beispiel a)


Wegen dem Betrag muss ich die Funktion "aufspalten":
Für x>=0 ist f(x)=\sqrt{x}
Für x<0 existiert (x)=\sqrt-{x}

Linksseitiger Limes:


Rechtsseitiger Limes:


Ist das soweit mal richtig, bzw. welche Erkenntnis gewinne ich dadurch, dass links- und rechtsseitiger Limes gleich sind?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn der Differenzenquotint für eine beliebige Funktion f(x) aus?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, wie schaut f(x+h) aus?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ärgerlich!

Nach deiner ersten Rückmeldung, hatte ich eh realisiert, dass ich die Wurzel vergessen hatte und nun ists mir wieder passiert! -.-

Darauf wolltest du hinaus, oder?


Existiert nicht?





h herausheben


h kürzen
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf das negative Vorzeichen unter der Wurzel, da steht doch ein Betrag, der kann nicht negativ werden.....
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Wie kommst du denn auf das negative Vorzeichen unter der Wurzel, da steht doch ein Betrag, der kann nicht negativ werden.....


Der Betrag ist der Grund wieso ich mir bei dem Beispiel schwer tu...

Das negative Vorzeichen habe ich auf Grund von
"
Für x >= 0 ist x positiv
Für x < = ist x negativ.
"



h herausheben


h kürzen




Also gleich wie beim rechtsseitigen? =1?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert sind tatsächlich gleich, schau dir die Funktion einmal an:



aber einfach das h unter der Wurzel entfernen klappt nicht so, wie du es gemacht hast, du solltest schon die Rechengesetze einhalten.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, jetzt weiß ich auch, wie man in einem Funktionsplotter einen Betrag setzt Augenzwinkern

So, ich habe nun also die Erkenntnis, dass links- sowie rechtsseitiger Grenzwert gleich sind.
Wie zeige ich jedoch, ob für bei x=0 die Ableitung existiert?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wann ist eine Funktion denn differenzierbar in einem Punkt ?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Im Repetitorium der höheren Mathematik gibt es zwei Definitionen.

1)
Es sei I ein offenes Intervall von Element von I. Eine Funktion f: I-->IR heißt im Punkt differenzierbar, wenn

existiert.
Dieser Grenzwert f'(x_0) heißt Ableitung von f in x_0.


2)
Es sei I ein offenes Intervall von Element von I. Eine Funktion f: I-->IR heißt im Punkt differenzierbar, wenn es eine Zahl f'(x_0) gibt, sodass

ist
Die Zahl f'(x_0) heißt Ableitung von f in x_0.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definitionen sind beides die gleichen, einmal steht alles auf einer Seite...

Na also, damit lässt sich doch was anfangen.

Wir betrachten analog dazu (weil es den meisten einfacher fällt) folgendes:

an der Stelle .

Lös das mal so weit auf, wie du kannst.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Ansätze die ich habe:

a)










Wenn ich nun =0 setze, erhalte ich 1.


b)




lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von metriod
Zwei Ansätze die ich habe:

a)




geschockt geschockt

Was für Gesetze hast du denn hier angewendet?


Das ist alles kompletter Blödsinn, du solltest die Rechenregeln schon parat haben.


Zitat:
Original von metriod



b)






Viel besser ist das auch nicht unglücklich , wie kommst du denn auf die letzte Umformung?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Wie erwähnt, mit Beträgen rechnen bereitet mir (noch) Schwierigkeiten...

b)
h herausgehoben, wobei das nicht funktioniert wie ich gerade realisiere.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Fehler haben nichts mit Beträgen zu tun, sie kommen durch Nichtbeachtung von Rechengesetzen zustande.

So hast du allen Ernstes geschrieben:

, das ist doch kein Fehler, der irgendetwas mit Beträgen zu tun hat, oder zu behaupten .

Das ist schlichte Mißachtung der Rechenregeln.


Wir nehmen mal deinen zweiten Ansatz, der ist wenigstens am Anfang richtig, also wir haben:





Das kann man nun zu einem Stammbruch umformen, dazu kann man benutzen, dass ist.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Die Definitionen sind beides die gleichen, einmal steht alles auf einer Seite...

Na also, damit lässt sich doch was anfangen.

Wir betrachten analog dazu (weil es den meisten einfacher fällt) folgendes:

an der Stelle .

Lös das mal so weit auf, wie du kannst.









lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von metriod





Dieser Schritt ist nicht ganz richtig, da auf einmal der Betrag wegfällt, das kannst du nicht machen...



Zitat:
Original von metriod





aber das Ergebnis stimmt.

Ich mach dir das mal korrekt vor:



Nun benutzen wir, dass ist und erhalten:



Den Grenzwert kann man nun ohne Probleme bestimmen, wie lautet er?
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

1/0 also nicht existent?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

h wird doch nicht 0 sondern wir immer kleiner, wir betrachten einen Grenzwert, einfach 0 einsetzen funktioniert nicht, etwas überlegen muss man schon.....
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe, dann geht es gegen unendlich = divergiert?
Und ist dadurch gezeigt, dass für bei x=0 kein Grenzwert existiert...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

genau, er geht gegen unendlich, das bedeutet, dass die Funktion nicht differnzierbar ist in

ach so, ist das eigentlich tatsächlich Schulmathematik?

Man kann auch den Rechts- und Linksseitigen Grenzwert betrachten von , da kommt man dann darauf, dass diese unterschiedlich sind, also nicht differenzierbar.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel gehört zu den leichteren Beispielen der Mathe 1 Übung auf der Uni.
Bei mir ist die Schule schon ein wenig länger her, daher wusste ich nicht ob solche Aufgaben in der Schule durchgenommen werden oder nicht.

Zitat:
Original von lgrizu
Man kann auch den Rechts- und Linksseitigen Grenzwert betrachten von , da kommt man dann darauf, dass diese unterschiedlich sind, also nicht differenzierbar.

Damit wäre dann gezeigt, dass die Funktion nicht differenzierbar ist, ergo auch für x=0. Versteh ich das richtig?



Jedenfalls auch dir vielen herzlichen Dank für deine Hilfe, besonders zu dieser späten Stund!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Sie ist in nicht differenzierbar, ansonsten schon, nur in diesem einen Punkt nicht.

Das wird einem auch schnell klar, wenn man sich die Funktion anschaut, deshalb noch mal der Plot:



edit: habs dann auch in Hochschulmathe verschoben Augenzwinkern
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man mittels H-Methode den links- sowie rechtsseitigen Grenzwert betrachtet für x=0, dann kommt doch der selbe Wert raus?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Aussage von mir war nicht richtig:

Zitat:
Original von lgrizu
Der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert sind tatsächlich gleich


Ich hatte dabei den Grenzwert der Funktion im Kopf, nicht den des Differentialquotienten, sorry.
metriod Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar!
Kein Grund sich zu entschuldigen, auch du darfst dir Fehler erlauben Augenzwinkern

Vielen Dank!
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