Krümmungen [Geometrie]

05.12.2010, 01:17

Thomas00

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Krümmungen [Geometrie]

Guten Abend allerseits!

Ich hätte eine Frage zur Gauss- und zur mittleren Krümmung.
Wir haben die zwar in der VL theoretisch behandelt, doch keine Beispiele gemacht. Als Beispiel, das man selber betrachten könne, hat der Prof der Katenoid angegeben, also:

$\begin{eqnarray*} f(t,v) = (cosh(t) cos(c), cosh(t) sin(v), t) \end{eqnarray*}$

Meine Frage nun: Könnte mir evtl. jemand (Musterlösungs-mässig) oder à la Kochbuch zeigen, wie man die Gauss-Krümmung und die mittlere Krümmung raus kriegt? Aus meinen Notizen werd' ich einfach nicht schlauer, und auch der Wikipedia-Artikel ist nicht wirklich hilfreich, leider..

Daher wäre ich sehr dankbar, wenn das hier jemand machen könnte.
Ich bin sicher, dass wir auch Übungen über dieses Thema erhalten werden, dann wäre es auch hierfür sehr hilfreich, wenn man eine gewisse "Vorgabe" hat smile

smile

Vielen herzlichen Dank und eine gute Nacht!

05.12.2010, 11:06

Huggy

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RE: Krümmungen [Geometrie]
Das c in deiner Parameterdarstellung müsste wohl ein v sein.

Ich verwende mal u und v als Parameter anstatt t und v und setze

$\begin{eqnarray*} f(u, v)= (x(u, v), y(u, v), z(u,v)) \end{eqnarray*}$

In deinem Beispiel wäre dann z. B.

$\begin{eqnarray*} x(u, v) =\cosh u \cos v \end{eqnarray*}$

Zur Berechnung der Krümmungen bestimmt man zunächst die Keffizienten E, F und G der ersten Fundamentalform:

$\begin{eqnarray*} E(u, v)=x_u^2+y_u^2+z_u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(u, v)=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(u, v)=x_v^2+y_v^2+z_v^2 \end{eqnarray*}$

Und es sei

$\begin{eqnarray*} W^2(u,v)=EG-F^2 \end{eqnarray*}$

Dabei sollen die Indizes die partiellen Ableitungen nach dem entsprechenden Parameter bezeichnen. Also z. B.

$\begin{eqnarray*} x_u = \frac {\partial} {\partial u} x(u, v) \end{eqnarray*}$

Der normierte Normalenvektor auf der Fläche ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \vec n(u, v) = \frac {\vec f_u \times \vec f_v}{W} \end{eqnarray*}$

Damit kann man die Koeffizienten L, M, N der zweiten Fundamentallform bestimmen:

$\begin{eqnarray*} L(u,v)=-\vec n_u \cdot \vec f_u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M(u, v)=-\frac{1}{2}(\vec n_u \cdot \vec f_v + \vec n_v \cdot f_u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(u, v)=-\vec n_v \cdot \vec f_v \end{eqnarray*}$

Jetzt nähert sich das Martyrium dem Ende. Die Gaußsche Krümmung K und die mittlere Krümmung H errechnen sich zu:

$\begin{eqnarray*} K(u, v)=\frac{LN-M^2}{EG-F^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H(u,v)=\frac{1}{2}\frac{EN-2FM+GL}{EG-F^2} \end{eqnarray*}$

Das ganze ist also recht aufwändig. Ich habe keine Ahnung, ob das der günstigste Rechenweg ist. So fit bin auf dem Gebiet auch nicht.

06.12.2010, 00:38

Thomas00

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Herzlichen Dank für die rasche Antwort.

Eine Frage hätte ich noch.
Hier: $\begin{eqnarray*} \vec n(u, v) = \frac {\vec f_u \times \vec f_v}{W} \end{eqnarray*}$ ist das Kreuzprodukt gemeint, oder?

06.12.2010, 00:56

Thomas00

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Genau bei diesem Schritt mit dem Normalenvektor bin ich nicht mehr sicher.

Ich hätte dann (mit dem Kreuzprodukt) folgendes:
[attach]17012[/attach]

Ist das möglich? (bzw. korrekt?

Die erste Fundamentalform ging mehr oder weniger straight forward, und für das W habe ich den Ausdruck im Nenner erhalten (siehe Bild).

Ich wäre froh, wenn mir jemand mein bisheriges Vorgehen bestätigen könnte bzw. sagen, wo der Fehler liegt.
(Stimmt das Kreuzprodukt auch wirklich - ich habe hierfür Wolfram arbeiten lassen smile

smile

)

Liebe Grüsse,
Thomi

06.12.2010, 08:54

Huggy

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Zitat:

Original von Thomas00
Herzlichen Dank für die rasche Antwort.

Eine Frage hätte ich noch.
Hier: $\begin{eqnarray*} \vec n(u, v) = \frac {\vec f_u \times \vec f_v}{W} \end{eqnarray*}$ ist das Kreuzprodukt gemeint, oder?

Ja.
Mal sehen, ob ich etwas Zeit finde, mir dein Ergebnis anzuschauen. Mathematica sollte man vertrauen können. Aber vielleicht findet sich ja noch jemand, der das mal mit Mathematica rechnet.

06.12.2010, 10:05

Ehos

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Bei WIKIPEDIa stehen unter den Stichwörtern "Gaußsche Krümmumg" bzw. "Mittler Krümmung" die entsprechenden Formeln - ohne Kreuzprodukte und ohne die Abkürzungen E, F, G. In den Formeln bei WIKIPEDIA kommen nur Ableitungen der Kurve nach den Parametern u, v vor.

Ich sage noch kurz, was diese beiden Größen physikalisch bedeuten:

Die Gaußsche Krümmung ist ein Maß dafür, wie stark die Normalvektoren gespreizt sind (wie die Stacheln eines Igels). Dabei gilt: je größer diese Spreizung, um so größer ist die Gaußsche Krümmung. Wenn diese Stacheln parallel wären (wie die Halme eines Kornfeldes), dann würde die Gaußsche Krümmung verschwinden:

Die mittlere Krümmung ist ein Maß für die "innere Spannung" innerhalb der Fläche, wenn man diese Fläche als "ausgebeulte" Gummi-Haut interpretiert. Wenn man diese "Gummi-Haut" in einen nicht-ebenen Rahmen einspannen würde, dann würde sich deren Form von selbst immer so gestalten, dass diese innere Spannung minimal ist. Das gleiche gilt für eine "Haut" aus Seifenlösung,innerhalb eines nicht-ebenen Rahmens.

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06.12.2010, 10:17

Huggy

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Zitat:

Original von Ehos
Bei WIKIPEDIa stehen unter den Stichwörtern "Gaußsche Krümmumg" bzw. "Mittler Krümmung" die entsprechenden Formeln - ohne Kreuzprodukte und ohne die Abkürzungen E, F, G. In den Formeln bei WIKIPEDIA kommen nur Ableitungen der Kurve nach den Parametern u, v vor.

Diese einfacheren Formeln gelten aber nur für die spezielle Parametriserung (u, v. f(u,v)). Die allgemeineren Formeln stehen dann darunter.

06.12.2010, 10:34

Ehos

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@Huggy
Stimmt

06.12.2010, 11:14

Thomas00

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Wollt' ich auch gerade schreiben. Zudem habe ich ja meine Hauptkrümmungen nicht gegeben. Oder ist das bspw. k1=cosh(t)cos(v) ?
Wie auch immer: Der Weg für den allgemeinen Fall ist ja auch machbar. ..allerdings bin ich nach wie vor unsicher, was die Richtigkeit der geposteten Zwischenlösung angeht...

06.12.2010, 11:19

Huggy

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Nur damit du nicht unnötig wartest, ich werde frühesten morgen einen Blick auf deine Ergebnisse werfen können.

06.12.2010, 13:19

Thomas00

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Okey.
Ich bitte dich, dann aber die folgende Loesung (fuer den Normalenvektor) zu kontrollieren - ich hab selbst ein paar Fehler entdeckt.
Hier also mein Resultat:

[attach]17021[/attach]

Gruss, Thomi

06.12.2010, 14:01

Thomas00

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Vielleicht noch als kleine Zwischenfrage: Bei der zweiten Fundamentalform (L, M, N) ist die normale Multiplikation gemeint, oder?

06.12.2010, 14:54

Thomas00

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Die letzte Frage bitte ignorieren - natuerlich handelt es sich hierbei um das Skalarprodukt - sorry smile

smile

..aber mein noch zu pruefendes Resultat steht noch smile

smile

07.12.2010, 10:11

Huggy

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Zitat:

Original von Thomas00
..aber mein noch zu pruefendes Resultat steht noch smile

smile

Ich komme ohne Mathematica auf etwas anderes:

$\begin{eqnarray*} E(u,v)=G(u,v)=\cosh^2 u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(u,v)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W(u,v)=\cosh^2 u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec n(u,v)=(-\frac{\cos v}{\cosh u},-\frac{\sin v}{\cosh u}, \tanh u) \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 23:32

Thomas00

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Ah - okey. Also E (und G) habe ich dasselbe: cosh^2(u)

Aber das F hat bei mir nicht 0 ergeben.
Wäre es allerdings 0, so käme ich auf dieselben Lösungen wie du smile

smile

Danke vielmals!
Der Fehler muss also dort stecken..

07.12.2010, 23:50

Thomas00

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Mir ist aber gerade noch etwas aufgefallen:
Wäre W nicht cosh^4(u)?

08.12.2010, 08:25

Huggy

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F wird 0, weil die Rechnung ergibt:

$\begin{eqnarray*} x_ux_v=-y_uy_v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_uz_v=0 \end{eqnarray*}$

Und es ist

$\begin{eqnarray*} W^2=\cosh^4 u \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} W=\cosh^2 u \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 16:55

Thomas00

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Ahhhhh, du hast vollkommen Recht!
Ich hatte natürlich W^2 gemeint, und zu früh reklamiert :P
Tut mir Leid!

Vielen herzlichen Dank für die Hilfe und das Prüfen meiner Ergebnisse! smile

smile

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