Profilkurve

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05.12.2010, 01:40	Sevil	Auf diesen Beitrag antworten »
Profilkurve Hallo! Die Profilkurve c: (0, oo) --> R^2 in der Skizze ist so konstruiert, dass für jedes P aus c((0, oo)) das Segment der Tangente an c((0, oo)) in P von P bis zum Schnittpunkt Q der Tangente mit der x-Achse die Länge 1 hat. [attach]16985[/attach] Wie findet man c heraus, wenn man den Ansatz $\begin{eqnarray} c(t) = (g(t), h(t)) = (g(t), e^{\lambda t} ) , \ \ \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ hat und c nach Bogenlänge parametrisiert sein soll? Gruss, Sevil.
06.12.2010, 01:05	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Profilkurve Hallo! Du könntest versuchen schrittweise vorzugehen: - Tangente berechnen - Schnittpunkt Q berechnen - Abstand P zu Q berechnen und gleich 1 setzen - über die obige Gleichung fehlenden Parameter berechnen Bis wohin kommst Du? Grüße Abakus
06.12.2010, 01:10	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Profilkurve Hallo! Ich habe die Aufgabe nur rasch überflogen. Wie (oder wovon) kann man denn die Tangente berechnen? Man hat ja keine konkrete Funktion gegeben. (oder?) Nimmt mich deswegen wunder, weil ich kürzlich eine ähnliche Aufgabe hatte. Gruss, Thomas
06.12.2010, 09:06	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Profilkurve Ich finde die Aufgabe etwas merkwürdig, weil sie zu viele Informationen enthält. Aus der gegebenen Parameterdarstellung lässt sich g(t) bestimmen, wenn der Parameter t die Bogenlänge sein soll. Dazu schreibt man sich die Formel für die Bogenlänge hin. Wenn der Parameter die Bogenlänge ist, bekommt man durch Ableiten nach der Bogenlänge die Ableitung von g(t), die man integrieren kann. Den Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bekommt man aus der Tatsache, dass die Subtangente für P = (0, 1) die Länge 1 hat. Dass die Subtangente dann für jeden Punkt P die Länge 1 hat, ergibt sich automatisch, wird also nicht als Voraussetzung benötigt.
08.12.2010, 00:07	Thomas00	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Profilkurve Ich kann dir nicht ganz folgen, bzw. ich weiss nicht, ob ich alles richtig verstanden habe. Also meinst du, dass $\begin{eqnarray} t = \int_a^b \! \sqrt{1+c'(t)^2} \, dx \end{eqnarray}$ Zu Lambda: Ist dieser Parameter dann nicht 1?
08.12.2010, 08:43	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Profilkurve So wie sie dasteht, ist deine Gleichung Unfug. Die Bogenlänge L(t) als Funktion eines Parameters t ist ab t = 0 gegeben durch $\begin{eqnarray} L(t)=\int_0^t \sqrt {\dot g(t')^2+ \dot h(t')^2} ~dt' \end{eqnarray}$ Wenn nun der Parameter t gerade die Bogenlänge ist, also L(t) = t, hat man $\begin{eqnarray} t=\int_0^t \sqrt {\dot g^2+ \dot h^2} ~dt' \end{eqnarray}$ Das nach t abgeleitet ergibt: $\begin{eqnarray} 1=\sqrt {\dot g(t)^2+ \dot h(t)^2} \end{eqnarray}$ Da h(t) gegeben ist, bekommt man daraus die Ableitung von g(t). Edit: $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ ist nicht (ganz) richtig.
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08.12.2010, 18:23	Sevil	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Profilkurve Vielen Dank für die Hilfe! Ist das Folgende also richtig? $\begin{eqnarray} \Rightarrow g'(t) = \sqrt{1-\lambda^2 e^{2\lambda t} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow g(t) = \frac{ln(\sqrt{1-\lambda^2 e^{2\lambda t} } -1) + \sqrt{1- \lambda^2 e^{2\lambda t} } - \lambda t}{\lambda} \end{eqnarray}$ ..und Lambda selber ist dann 1 oder -1 (da die Ableitung von g(t) 0 sein muss). oder? Das heisst, es gäbe 2 Lösungen für c(t).
08.12.2010, 20:00	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Profilkurve g'(t) ist richtig. Da unter der Wurzel für t > 0 kein negativer Wert stehen darf, kommt nur einer der beiden Werte für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ in Frage. Dein g(t) musst du aber überprüfen, was man schon daran sieht, dass bei deinem g(t) für t = 0 der Logarithmus von -1 entsteht. Es empfiehlt sich, g(t) zur Probe wieder abzuleiten.
08.12.2010, 20:32	Sevil	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Profilkurve Ah, natürlich. Das habe ich gar nicht mehr geprüft. Dann ist Lambda = -1 und g(t) habe ich so verändert / korrigiert (u.a. mit Hilfe von tanh^(-1)), dass die Ableitung davon dann wirklich unser g'(t) ergibt. Vielen Dank für die Hilfe!

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