Fragen zu Abiturprüfungen 2008 (Ebenen)

05.12.2010, 01:55	Whitis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zu Abiturprüfungen 2008 (Ebenen) Es geht jetzt nur um die Aufgabe c) und d), dort verstehe ich den Lösungsweg nicht. Durch A(10\|0\|0), B(12\|4\|0), C(8\|6\|0), D(6\|2\|0) und S(9\|3\|10) ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und Spitze S festgelegt (siehe Abbildung 1). Abbildung 2 zeigt den Grundriss dieser Pyramide. Gegeben ist außerdem die Ebenenschar $\begin{eqnarray} E_{h}: x_{1} + 2x_{2} + \frac{20-h}{2h}x_{3}-20=0 \end{eqnarray}$ Wobei h ungleich 0 ist. a) Zeigen Sie, dass die Gerade BC in jeder Ebene $\begin{eqnarray} E_{h} \end{eqnarray}$ der Ebenenschar enthalten ist. (8 Punkte) b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von h den Schnittpunkt $\begin{eqnarray} P_{h} \end{eqnarray}$ der Scharebene $\begin{eqnarray} E_{h} \end{eqnarray}$ mit der Geraden AS. (8 Punkte) [Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray} P_{h}(10- \frac{h}{10} \| \frac{3h}{10} \| h) \end{eqnarray}$ c) Die Seitenfläche ASD der Pyramide wird für $\begin{eqnarray} h \in ]0;10[ \end{eqnarray}$ von der Ebene $\begin{eqnarray} E_{h} \end{eqnarray}$ in der Strecke $\begin{eqnarray} \vec{P_{h}Q_{h}} \end{eqnarray}$ geschnitten. Bestimmen Sie die Länge lh der Strecke $\begin{eqnarray} \vec{P_{h}Q_{h}} \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von h und berechnen Sie die Länge $\begin{eqnarray} l_{2} \end{eqnarray}$ der Strecke $\begin{eqnarray} \vec{P_{2}Q_{2}} \end{eqnarray}$ . (14 Punkte) [Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray} Q_{h}\left(6+\frac{3h}{10} \|2+\frac{h}{10} \|h\right) \end{eqnarray}$ _________________________________________________________ Hier gibt es den Lösungsweg dazu: Edit (mY+): Link (auth. requ.) entfernt. Sollte es der Link bei jemanden nicht tun, Folgendes wurde getan: Es wird eine Geradengleichung für DS aufgestellt. Dessen Allgemeiner Geradenpunkt wird in die Gleichung der Ebenenschar eingesetzt. Den errechneten Wert für s setzt man in den Allgemeinen Geradenpunkt ein, und erhält somit den Schnittpunkt der Ebenenschar mit der Strecke DS ( das wäre $\begin{eqnarray} Q_{h}\left(6+\frac{3h}{10} \|2+\frac{h}{10} \|h\right) \end{eqnarray}$ Dann wird die Länge des Verbindungsvektors $\begin{eqnarray} \vec{P_{h}Q_{h}} \end{eqnarray}$ berrechnet. _______________________________________________________ Warum wurde das jetzt so gemacht? Warum muss ich überhaupt den Schnittpunkt der Strecke DS mit der Ebenenschar berechnen, um diesen Punkt $\begin{eqnarray} Q_{h} \end{eqnarray}$ zu erhalten? Wo kann ich das aus der Aufgabenstellung ableiten? Ehrlih gesagt wäre es mir lieb, wenn mir die Aufgabenstellung jemand gewissermaßen erklären könnte, welcher Satz was bedeutet. Denn es ist zum Beispiel zu Beginn von der Seitenfläche ASD die Rede, aber die wird bei der Aufgabe irgendwie komplett ignoriert. Stattdessen hab man einfach, für mich scheinbar, vollkommen willkürlich die Strecke DS genommen. Wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte. _______________________________________________________ _______________________________________________________ d) Die Ebene $\begin{eqnarray} E_{2} \end{eqnarray}$ schneidet die Seitenfläche ASD der Pyramide in der Strecke $\begin{eqnarray} \vec{P_{2}Q_{2}} \end{eqnarray}$ (siehe Teilaufgabe c)). Diese teilt die Seitenfläche ASD in einen oberen Teil, das Dreieck $\begin{eqnarray} P_{2}SQ_{2} \end{eqnarray}$ , und einen unteren Teil $\begin{eqnarray} AP_{2}Q_{2}D \end{eqnarray}$ . Das Dreieck $\begin{eqnarray} P_{2}SQ_{2} \end{eqnarray}$ wird nun um $\begin{eqnarray} \vec{P_{2}Q_{2}} \end{eqnarray}$ als Drehachse nach außen (von der Pyramide weg) in die Ebene $\begin{eqnarray} E_{2} \end{eqnarray}$ gedreht. Dabei bewegt sich der Punkt S in eine neue Position S' . Ermitteln Sie die Koordinaten von S'; und den Drehwinkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . (12 Punkte) [Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray} S'(4,92\|-5,17\|5,65) \end{eqnarray}$ ] _______________________________________________________ Auch hier gibt es wieder die Lösung: Edit (mY+): Link (auth. requ.) entfernt. Falls der Link nicht funktionieren sollte: Es wurde der Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray} \vec{BC} \end{eqnarray}$ und der Strecke $\begin{eqnarray} \vec{P_{2}Q_{2}} \end{eqnarray}$ berechnen Naja um ehrlich zu sein, muss hier jetzt darauf hoffen, dass der Link funktioniert. Denn ich verstehe nicht was dort getan wurde und warum. Hier bitte ich wie bei Aufgabe C um eine Erklärung warum das getan wurde, hier zusätzlich noch was überhaupt getan wurde. Ich danke, wie schon so häufig, für die kommende Hilfe!
05.12.2010, 17:38	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Aufgabe c) Die Aufgabe braucht ein wenig räumliches Vorstellungsvermögen. Wir betrachten die Seitenfläche ASD. Diese Fläche hat drei Kanten, nämlich die Kanten AS, DS und AD. Die Ebene Eh schneidet die Kante AS im Punkt Ph. Das haben wir in Aufgabe b) bestimmt. In Aufgabe c) berechnen wir nun den Schnittpunkt der Ebene Eh mit der anderen Kante DS und erhalten den Punkt Qh. Die Strecke Ph,Qh ist also genau die Schnittline der Seitenfläche ASD mit der Ebene Eh. Und die Länge dieser Strecke ist nun zu berechnen. Anmerkung: Da beide Punkte Ph und Qh die gleiche x3 Koordinate (nämlich h) haben, ist die Strecke Ph,Qh parallel zur x1-x2-Ebene. Jetzt ist auch klar, warum h aus dem offenen Intervall ]0,10[ sein muss, denn die Pyramide ist ja gerade 10 Einheiten hoch. Zu Aufgabe d) Auch diese Aufgabe braucht räumliches Vorstellungsvermögen. Aus den Koordinaten der Pyrarmiden-Eckpunkten folgt, dass die Dreiecksfläche ASD gleichschenklig ist. Deshalb steht die Pyramidenspitze S mittig über der Strecke P2,Q2. Der Mittelpunkt M der Strecke P2,Q2 ist also der Lotfußpunkt der Pyramidenspitze S bezüglich der Drehachse durch P2 und Q2. Jetzt muss man nur noch den Vektor MS in die Ebene Eh drehen. Dazu bestimmen wir den Lotfußpunkt F der Pyramidenspitze S auf die Ebene Eh. Der Vektor MF wird dann zum Vektor MS' verlängert, so dass die Länge von MS gleich der Länge von MS' ist. Damit haben wir den gesuchten Punkt S' bestimmt. Der gesuchte Winkel ergibt sich aus dem Skalarprodukt von MS und MS'. Keine ganz so einfache Aufgabe ... Übrigens: der Link zur Lösung funktioniert bei mir auch nicht. Warum sollte er auch beim mir funktionieren, wenn es das bei dir auch nicht tut ... (ungültige URL)
06.12.2010, 00:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Links sind nicht ungültig (wenn man sie in die Eingabezeile des Browsers kopiert), sondern sie erfordern einen Benutzernamen und Passwort. @Whitis Bitte von solchen Links abzusehen! Sie wurden entfernt! mY+

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