Ungenaue Schreibweise bei f(x) = 0

05.12.2010, 05:34

Vierauge80

Ungenaue Schreibweise bei f(x) = 0

Eine Funktion x ---> f(x) mit x aus R und f(x) aus R
wenn f(x) = x² dann sind Definitionsbereich und Wertebereich aus R

wenn ich f(x) = 0 setze, dann stellt das doch keine Funktion mehr dar, da in einer Funktion alle x aus dem Definitionsbereich einen Wert aus dem Wertebereich treffen MÜSSEN.
Dies ist ja bei f(x) = 0 ja nicht der Fall. Bei z.B. x = 4 (obwohl aus Definitionsbereich) wird ja keine 0 "getroffen".

Meine Frage ist: Ist f(x) = 0 dann eine ungenaue, bzw. etwas schlampige Schreibweise für eine Nullstelle?

05.12.2010, 05:51

Vierauge80

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungenaue Schreibweise bei f(x) = 0
Falls es nicht klargeworden ist noch dieses Beispiel:

f(x) = x² f(x) = 0 ---> Nullstelle, so wie ich Sie als Schreibweise in der Literatur finde bzw. verstehe.

dann aber ist ja z.B. f(2) = 4 = 0

Deshalb die Frage zur ungenauen Schreibweise, daß das hier oben falsch ist, ist mir schon klar...

05.12.2010, 07:24

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungenaue Schreibweise bei f(x) = 0
$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist erstmal nur eine Gleichung.
Ein Objekt welches diese Gleichung erfüllt, nennt man eine Nullstelle.
$\begin{eqnarray*} a \text{ ist Nullstelle von } f :\Leftrightarrow \text{ Für } a \text{ gilt } f(a) = 0 \end{eqnarray*}$
Oder in Worten:
a ist eine Nullstelle von f genau dann wenn die Funktion f das Objekt a auf die 0 abbildet.

Falls du einen abweichenden Formalismus in einem Buch ergründen willst, solltest du die entsprechende Passage Wort für Wort (bzw. Symbol für Symbol) zitieren.

06.12.2010, 11:52

Vierauge80

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungenaue Schreibweise bei f(x) = 0
Bei einer Funktion muss doch sichergestellt werden das alle x aus dem Definitionsbereich ein f(x) treffen.

Bei x und f(x)=x² ist das sichergestellt. Wenn ich f(x) aber dann 0 setzte, treffen doch nicht mehr alle x Werte die Null! Ist dann f(x) = 0 gar keine Funktionsdarstellung mehr?

06.12.2010, 14:14

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast schon Recht, die Angabe " $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ " definiert eben keine Funktion im strengen Sinne.
Eine Funktion ist nicht einfach eine Gleichung. Damit du eine Funktion hast, musst du eine Definitionsmenge, eine Wertemenge und eine Vorschrift angeben.
Also um die "Quadratfunktion" zu bekommen und ihr den Namen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu verpassen, müsste man
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$
schreiben.
In der ersten Zeile steht der Name der Funktion sowie der Definitions und Wertebereich. In der zweiten Zeile steht die Funktionsvorschrift.
Die Notation $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ macht erst dann einen Sinn und bedeutet eigentlich das was du auch sagst:
"Nimm $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und berechne den Funktionswert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ indem du $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ berechnest".

Um dann die Gleichung für die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu kriegen müsste man eigentlich sagen:
Finde alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Hier wird dann " $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ " als Gleichung aufgefasst.

Natürlich, wenn klar ist was gemeint ist, dann schenkt man sich den ganzen Formalismus.

06.12.2010, 14:40

Vierauge80

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte Schwierigkeiten mit der Koppelung von Defintitions und Wertebereich. Hab mich jetzt noch mal etwas schlau gemacht und hab jetzt folgendes Verständnis:

Da f(x) ja bereits einen festen Funktionswert darstellt, befinden sich alle f(x) schon in der Menge des Wertebereiches. Hier bleibe ich ja auch wenn ich f(x) = 0 suche. Ich bleibe also mit der Gleichung in der Menge des Wertebereiches und habe mit dem Defintinionsbereich gar nichts mehr direkt zu tun, weil x ---> f(x) ja bereits "vorher" schon erfolgt ist. Ich "besitze" bei f(x) = 0 schon alle Werte aus dem Wertebereich und muss mich nicht mehr mit dem Definitionsbereich "herumschlagen".

So in etwa?

06.12.2010, 17:28

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Vierauge80
Da f(x) ja bereits einen festen Funktionswert darstellt, befinden sich alle f(x) schon in der Menge des Wertebereiches.

Ja. Das war die Definition des Wertebereiches. Und der Funktionswert ist in deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ .

Wie erwähnt, mit der Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ meint man eigentlich, man soll die Gleichung lösen die man kriegt, wenn man die Funktionsvorschrift links vom Gleichheitszeichen und die Null rechts hin schreibt. Diese Gleichung gilt es zu lösen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich.

In deinem Beispiel [da die Funktionsvorschrift $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ lautet] bedeutet das:
Finde alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Hier will man einfach dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein Ding im Definitionsbereiches ist und wir suchen alle solche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen, also alle Elemente im Definitionsbereich, deren Funktionswert Null ist.

Neue Frage »

Antworten »

Ungenaue Schreibweise bei f(x) = 0

Verwandte Themen