Scheitelpunkte einer Funktionsschar

05.12.2010, 11:04

tooru

Scheitelpunkte einer Funktionsschar

Meine Frage:
Hallo smile

,
ich habe eine Frage bei folgender Aufgabe:
Durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} p_{r} \left(x\right) = \frac{1}{r} x^{2} - 2x \end{eqnarray*}$ ist für jeden Parameterwert r, $\begin{eqnarray*} r \neq 0 \end{eqnarray*}$ , eine Parabel gegeben. Zeige, dass die Scheitelpunkte aller Parabeln der Schar auf einer Geraden liegen.

Ich habe die Aufgabe soweit gerechnet, dass ich den x-Wert des Scheitelpunktes weiß. Nun fehlt mir nur noch der Ansatz wie ich auf den y-Wert komme?

Meine Ideen:
Meine Rechnung:
$\begin{eqnarray*} f_{t}(x)= x\times (\frac{1}{t} \times x- 2)= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \times = 0 \vee \frac{1}{t} \times x- 2= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x= 0 \vee x= 2\times t \end{eqnarray*}$

Also weiß man, dass die Nullstellen bei x=0 und x=2t liegen. Daraus folgt, dass der Scheitelpunkt die x-Koordinate t haben muss, da der Scheitelpunkt die Mitte aus den beiden Nullstellen bildet. Nun ist es mir nur unklar wie man auf die y-Koordinate des Scheitelpunkts kommt?

Vielen Dank smile

05.12.2010, 11:06

baphomet

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RE: Scheitelpunkte einer Funktionsschar
Du hast eine Allgemeine quadratische Gleichung in der Form

$\begin{eqnarray*} 0=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

vorliegen und den Scheitelpunkt erhält man mittels

$\begin{eqnarray*} S(-\frac{b}{2a}| f(\frac{b}{2a})= \end{eqnarray*}$

In deinem Beispiel sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{r}x^2-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{2}{2\frac{1}{r}}=r \end{eqnarray*}$

Die y-Koordiante erhält man indem man für x einfach x_S einsetzt.

$\begin{eqnarray*} y_S=\frac{1}{r}(r)^2-2(r) \end{eqnarray*}$

05.12.2010, 11:39

sulo

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RE: Scheitelpunkte einer Funktionsschar

Zitat:

Original von baphomet
$\begin{eqnarray*} x_S=\frac{2}{\frac{1}{r}}=2r \end{eqnarray*}$

Die y-Koordiante erhält man indem man für x einfach x_S einsetzt.

$\begin{eqnarray*} y_S=\frac{1}{r}(2r)^2-2(2r) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tooru
Daraus folgt, dass der Scheitelpunkt die x-Koordinate t haben muss, da der Scheitelpunkt die Mitte aus den beiden Nullstellen bildet.

Richtig, xs = t (bzw. xs = r) Freude

Das hättest du auch errechnen können, indem du die erste Ableitung = 0 setzt. Augenzwinkern

Jetzt einsetzen ergibt ys = (1/t)·t² - 2t = -t (bzw. ys = -r).

smile

06.12.2010, 14:18

tooru

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Okay vielen Dank für euere Antworten, ich habe es jetzt verstanden smile

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