Lineare Abhängigkeit

05.12.2010, 11:59

LoBi

Lineare Abhängigkeit

Es seien $\begin{eqnarray*} a, b, c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Menge
$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ b^2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ c \\ c^2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$
genau dann linear unabhängig ist, wenn die Zahlen a, b, c paarweise verschieden
sind, d.h. $\begin{eqnarray*} a \not= b, a \not= c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \not= c. \end{eqnarray*}$

Ich muss also zeigen das $\begin{eqnarray*} a \not= b, a \not= c,b \not= c \Leftarrow\Rightarrow \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ b^2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ c \\ c^2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig.

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$
zzg: $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ b^2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ c \\ c^2 \end{pmatrix} \right\} l. u.\Rightarrow a \not= b, a \not= c,b \not= c \end{eqnarray*}$
Das Beweise ich dann mit Kontraposition:
$\begin{eqnarray*} a = b, a= c,b = c \Rightarrow \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ b^2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ c \\ c^2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ linear abhaengig.
Wenn $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a=c \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b=c \end{eqnarray*}$ Dann enthält die Menge 2 oder mehr Gleiche Vektoren, und ist somit linear abhängig. (Eine der 2 kann ja durch die restlichen Vektoren linear kombiniert werden.)

Bei der Rückrichtung habe ich jetzt meine Probleme:
zzg: $\begin{eqnarray*} a \not= b, a \not= c,b \not= c \Rightarrow \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ b^2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ c \\ c^2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig.

Erstmal stell ich mir ein LGS auf:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a^2 \end{pmatrix}+ \lambda_2\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ b^2 \end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix} 1 \\ c \\ c^2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 0=\lambda_1a+\lambda_2b+\lambda_3c 0=\lambda_1a^2+\lambda_2b^2+\lambda_3c^2 \end{eqnarray*}$
Jetzt muss ich das unter der Vorraussetzung das $\begin{eqnarray*} a \not= b, a \not= c,b \not= c \end{eqnarray*}$ lösen. Daran hakt es.

Gruß

05.12.2010, 12:07

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne doch mal die Determinante

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

aus und überleg dir, was das Ergebnis mit deiner Behauptung zu tun hat.

05.12.2010, 12:07

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Die eine Richtung ist klar, die andere Richtung geht sehr bequem (wie üblich Augenzwinkern

) mit dem dem Gaußalgorithmus.

06.12.2010, 14:09

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Determinanten darf ich leider nicht benutzen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -a+b & -a+c \\ 0 & -a^2+b^2 & -a^2+c^2 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -a+b & -a+c \\ 0 & 0 & ab-ca-bc+c^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich :
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 +\lambda_2+\lambda_3=0 \lambda_2(-a+b)+\lambda_3(-a+c)=0 \lambda_3(ab-ca-bc+ c^2)=0 \end{eqnarray*}$

Jetz guck ich mir zuerst die 3. Gleichung an.
Damit $\begin{eqnarray*} \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ ist muss $\begin{eqnarray*} (ab-ca-bc+ c^2)\not=0 \end{eqnarray*}$ sein. Nur warum ist das nur der Fall unter meiner Vorraussetzung?

06.12.2010, 18:41

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 & 1 & c+a \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 & 0 & c+a-b-a=c-b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

06.12.2010, 18:55

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht ganz warum du die Matrix transponierst habe es jetzt so:

$\begin{eqnarray*} \lambda_3(ab-ca-bc+ c^2)= \lambda_3(b-c)(a-c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_3\underbrace{(b-c)}_{\not=0}\underbrace{(a-c)}_{\not=0}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2(-a+b)+\underbrace{\lambda_3}_{=0}(-a+c) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lambda_2(-a+b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2\underbrace{(-a+b)}_{\not=0}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 +\underbrace{\lambda_2}_{=0}+\underbrace{\lambda_3}_{=0}=\lambda_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$

Das müsste doch eigentlich als Lösung durchgehen.

06.12.2010, 18:58

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast transponiert, die Mehrheit (Rene Gruber und Elvis) nicht. Augenzwinkern

Es ist üblich, Vektoren als Zeilenvektoren zu schreiben, wenn man den Gaußalgorithmus anwendet. Übrigens gilt für jede Matrix Rang = Spaltenrang = Zeilenrang .

Deine Lösung ist vermutlich auch korrekt. Eben weil Zeilenrang = Spaltenrang. Man muss nur lang genug rechnen.

07.12.2010, 10:46

Theta

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten aber auch noch keine Matrizen,
Warum wollt ihr das dann damit beweisen?

07.12.2010, 12:02

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach geht es nicht anders.
Du musst ja sowas wie den Gaussalgorhytmus benutzen um das LGS zu lösen, und die Matrix is ja quasi nur ne andere, praktische Schreibweise für die Gleichungen ?

@Elvis
Aus dieser Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 & 0 & c+a-b-a=c-b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lese ich dann folgende Gleichungen ab?
$\begin{eqnarray*} 1\lambda_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\lambda_1+1\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2\lambda_1+(b+a)\lambda_2+(c-b)\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

Was mich immer noch verwirrt ist, ich berechne ja hier die Linearkombination des Vektors $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der ist ja
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 \\ \lambda_1a+\lambda_2b+\lambda_3c \\ \lambda_1a^2+\lambda_2b^2+\lambda_3c^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ berechnen möchte wie sieht dann meine Matrix aus?
Ich bin der Meinung so: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Gruß

07.12.2010, 16:52

ojemine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LoBi
Determinanten darf ich leider nicht benutzen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -a+b & -a+c \\ 0 & -a^2+b^2 & -a^2+c^2 \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -a+b & -a+c \\ 0 & 0 & ab-ca-bc+c^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ICH VERSTEHE DEN LETZTEN SCHRITT IN DEM GLEICHUNGSSYSTEM NICHT KANN MIR DA EVENTUELL JEMAND HELFEN??!!!???!!!??!!???

DANKEEEEE....Dann habe ich :
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 +\lambda_2+\lambda_3=0 \lambda_2(-a+b)+\lambda_3(-a+c)=0 \lambda_3(ab-ca-bc+ c^2)=0 \end{eqnarray*}$

Jetz guck ich mir zuerst die 3. Gleichung an.
Damit $\begin{eqnarray*} \lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ ist muss $\begin{eqnarray*} (ab-ca-bc+ c^2)\not=0 \end{eqnarray*}$ sein. Nur warum ist das nur der Fall unter meiner Vorraussetzung?

07.12.2010, 17:36

LoBi

Auf diesen Beitrag antworten »

3. binomische Formel.
Ein Thread reicht eigentlich.

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Abhängigkeit

Verwandte Themen