Riccatische DGL

18.11.2006, 17:29	jentowncity	Auf diesen Beitrag antworten »
Riccatische DGL Hallo an alle! Ich kann leider wenig mit folgender Aufgabe anfangen: $\begin{eqnarray} y'=q_{1}(x)+q_{2}(x)y+q_{3}(x)y^{2} \end{eqnarray}$ ist die Riccatische DGL. Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray} \phi_{1}:~I->\mathbb R \end{eqnarray}$ eine spezielle Lösung, dann ist auch $\begin{eqnarray} \phi(x):=\phi_{1}(x)+\frac{1}{v(x)} \end{eqnarray}$ eine Lösung, wenn v(x) die lineare DGL 1. Ordnung: $\begin{eqnarray} v'=-(q_{2}(x)+2q_{3}(x)\phi_{1}(x))v-q_{3}(x) \end{eqnarray}$ erfüllt. Also ich hab gar keinen Plan wo und wie ich hier anfangen soll. Das sind mir irgendwie zu viele Gleichungen. Was soll ich denn zuerst zeigen? Jetzt sind es ja auf einmal 2 DGL
18.11.2006, 18:27	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst zeigen das wenn $\begin{eqnarray} \Phi_1 \end{eqnarray}$ die erste DGL erfüllt und V(x) die zweite, dann erfüllt $\begin{eqnarray} \Phi = \Phi_1 + \frac{1}{V(x)} \end{eqnarray}$ auch die erste Gleichung. Deine Vorrausetzungen sind also: $\begin{eqnarray} \Phi_1' =q_1(x) + q_2(x)y + q_3(x)y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v'=-(q_{2}(x)+2q_{3}(x)\phi_{1}(x))v-q_{3}(x) \end{eqnarray}$ Wie wäre es denn wenn Du mal $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ in die erste DGL einsetzt, ich denke mal dann kannste des schon auflösen.
18.11.2006, 19:43	jentowncity	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort Mazze! Die Aufgabe ist mir jetzt etwas klarer. Aber wie soll ich denn $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ in die erste DGL einsetzen? Etwa so: $\begin{eqnarray} \phi'=\phi_{1}'-\frac{v'}{v^{2}} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \phi'=q_{1}+q_{2 }\phi_{1}+q_{3 }\phi_{1}^{2}-\frac{v'}{v^{2}} \end{eqnarray}$ Und jetzt? man könnte jetzt noch für v' entsprechend einsetzen, aber damit hab ich ja noch gar nichts gezeigt...
18.11.2006, 20:12	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst zeigen das dieses Phi eine Lösung ist, und wie macht man das am besten? Einsetzen und schauen das dass Richtige herauskommt, und wenn Du ordentlich umformst kommt sicher das richtige raus. Ich würde für v' jetzt die zweite DGL einsetzen und dann umformen.
19.11.2006, 11:37	jentowncity	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, alles klar, danke Mazze! Ich denke ich habs jetzt: Wenn ich für v' jetzt die gegebene Formel einsetze, ergibt sich: $\begin{eqnarray} \phi'=q_{1}+q_{2 }\phi_{1}+q_{3 }\phi_{1}^{2}-\frac{-(q_{2}(x)+2q_{3}(x)\phi_{1}(x))v-q_{3}(x)}{v^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =q_{1}+q_{2 }\phi_{1}+q_{3 }\phi_{1}^{2}+\frac{q_{2}}{v}+\frac{2q_{3}\phi_{1}}{v}+\frac{q_{3}}{v^{2}} \end{eqnarray}$ Und wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} \phi_{1}=\phi_{1}+\frac{1}{v} \end{eqnarray}$ einsetze und was zu viel ist abziehe, ergibt sich: $\begin{eqnarray} \phi'=q_{1}+q_{2 }(\phi_{1}+\frac{1}{v})+q_{3 }(\phi_{1}+\frac{1}{v})^{2} \end{eqnarray}$ und damit sieht es genauso aus wie: $\begin{eqnarray} \phi_1' =q_1 + q_2\phi_1 + q_3\phi_1^2 \end{eqnarray}$ Also ist es jetzt gezeigt? oder fehlt noch irgendwas?
19.11.2006, 11:42	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist fertig! Nur solltest Du mit $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi_1 \end{eqnarray}$ genauer aufpassen, denn $\begin{eqnarray} \phi_{1}=\phi_{1}+\frac{1}{v} \end{eqnarray}$ ist so falsch. Es muss heissen $\begin{eqnarray} \phi=\phi_{1}+\frac{1}{v} \end{eqnarray}$
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