Verständnisfrage[Tangentenraum]

05.12.2010, 14:32

Idiot

Verständnisfrage[Tangentenraum]

Hallo,

ich habe noch meine Schwierigkeiten bei der Vorstellung des Tangentenraumes.
Dabei geht es mir zunächst einmal um Tangentenräume zu Untermannigfaltigkeiten, eingebettet in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Also der euklidische Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ selbst ist doch auch eine UMF. Und der tangentenraum an jedem Punkt ist in diesem Fall doch der Raum selbst oder?, also $\begin{eqnarray*} T_x\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Wenn man nun eine UMF $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ hat und einen gegebenen punkt $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ , gilt doch ebenfalls $\begin{eqnarray*} T_xM \subset \mathbb{R}^n=T_x\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Gilt dann auch allgemeiner, in dem Fall $\begin{eqnarray*} N \subset M \end{eqnarray*}$ mit M,N UMF des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} T_xN \subset T_xM \end{eqnarray*}$ ??
Also ich glaube schon. Aber wäre super wenn mir jemand die Richtigkeit der obigen Aussageb bestätigen oder wenn nötig korrigieren könnte.

Besten Dank und viele Grüße

05.12.2010, 14:47

system-agent

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RE: Verständnisfrage[Tangentenraum]

Zitat:

Original von Idiot
Also der euklidische Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ selbst ist doch auch eine UMF.

Ja.

Zitat:

Original von Idiot
Und der tangentenraum an jedem Punkt ist in diesem Fall doch der Raum selbst oder?, also $\begin{eqnarray*} T_x\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Ja und nein. Diese Gleichheit ist eigentlich eine Isomorphie, aber man schreibt es trotzdem gerne mit einem Gleichheitszeichen und meint dabei, dass $\begin{eqnarray*} T_x\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ pro Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ identifiziert wird.
Übrigens heisst es Tangentialraum anstatt Tangentenraum.

Zitat:

Original von Idiot
Wenn man nun eine UMF $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ hat und einen gegebenen punkt $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ , gilt doch ebenfalls $\begin{eqnarray*} T_xM \subset \mathbb{R}^n=T_x\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Auch hier: $\begin{eqnarray*} T_xM\subset T_x\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist wirklich als Unterraum gemeint. Aber wie oben ist $\begin{eqnarray*} T_x\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ nur isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Idiot
Gilt dann auch allgemeiner, in dem Fall $\begin{eqnarray*} N \subset M \end{eqnarray*}$ mit M,N UMF des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} T_xN \subset T_xM \end{eqnarray*}$ ??

Ja, das gilt. Dieses $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ ist nicht bloss eine Untermenge, sondern sogar ein Untervektorraum.

05.12.2010, 15:01

Idiot

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super, vielen Dank für deine Hilfe.

Deine Erläuterungen haben mir sehr weitergeholfen.

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