Analysis - Konstanz einer Funktion

05.12.2010, 14:36

schnups

Analysis - Konstanz einer Funktion

Meine Frage:
Sei f: intervall(0,1) -> IR stetig mit f(x)=f(x^2) für alle x in intervall(0,1).

Beweisen Sie, dass f konstant ist.

Meine Ideen:
Also das Einzigste, auf das ich komme ist, zu zeigen dass f(x)-f(x^2)=0 ist. Stimmt das soweit?

05.12.2010, 15:02

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RE: Analysis - Konstanz einer Funktion
Lustige Aufgabe. Eine (vielleicht nicht schöne, aber vermutlich gangbare) Idee wäre folgende:

Mache dir klar, warum dann auch $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x^{2n}) \end{eqnarray*}$ gilt. (n ist natürlich)
Mache dir dann klar, was mit $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich passiert, also quasi mit der Fortsetzung auf den linken Randpunkt.
Untersuche dann den Grenzwert für EINE solche Folge für n gegen unendlich (dazu verwende die Stetigkeit) und überlege dann, warum dann alle f(x) gleich sein müssen.

Wenn du die Fortsetzung auf den linken Randpunkt nicht benutzen möchtest, dann überlege dir anhand der Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit, warum für je zwei $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ gelten muss, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ indem du wieder die obige Konstruktion der Folge $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ .

Gruß
MI

05.12.2010, 15:28

schnups

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Hallo MI,

ich scheitere grad daran, nachzuvollziehen, warum bereits deine erste Aussage gelten soll.
Kannst du mir da auf die Sprünge helfen.
Was meinst du mit der Fortsetzung auf dem Llinken Randpunkt?

gruß

05.12.2010, 15:54

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Für die erste Aussage:
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x^2) \end{eqnarray*}$ . Wähle nun $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ . Da x aus (0,1), ist auch x^2 aus (0,1). Damit gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)=f(y^2)=f(x^4) \end{eqnarray*}$ . Rest nach Induktion.

Versuche dir mal anhand (z.B.) einer Zeichnung klarzumachen, was das bedeutet.
Wenn du das n groß werden lässt, so wandern die x^{n} immer näher zusammen (und zur 0 hin). Für je zwei VERSCHIEDENE x und y gibt es aber auch bestimmte n und m mit x^{n} und y^{m}, die nahe beieinanderliegen.
So, und JETZT kommt die Stetigkeit ins Spiel, die dir sagt, dass dann $\begin{eqnarray*} f(x^{n}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y^{m}) \end{eqnarray*}$ nahe beieinander liegen.

Das ist jetzt extrem lasch formuliert, hoffentlich verstehst du aber, worauf ich hinaus möchte. Wenn ich das klarer formulieren würde, dann wäre die Aufgabe im Grunde schon erledigt Augenzwinkern

.

Vergiss erst einmal die Fortsetzung und versuche das so, wie oben beschrieben, nachzuvollziehen und anhand dieses Hinweises zu beweisen.

Gruß
MI

05.12.2010, 16:20

schnups

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Also ich steig bis f(x)=f(x^(2*n)) durch, aber was das alles mit Stetigkeit zu tun hat versteh ich nicht

05.12.2010, 16:54

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Okay, dann ganz langsam. Du möchtest ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ für zwei beliebige $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ aus (0,1) gilt.
Jetzt betrachte erst einmal die Folgen $\begin{eqnarray*} (x^{2n}),(y^{2n}) \end{eqnarray*}$ .
Was kannst du über die Folgen sagen? Was kannst du über die Bildfolgen sagen?

Gruß
MI

05.12.2010, 17:01

Schnups

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Naja fuer n->unendlich konvergieren beide folgen gegen 0. Wegen stetigkeit muessen auch ihre bildfolgen gegen 0 konvergieren. Folglich stimmen auch die limites der bildfolgen ueberein. D.h die bildfolgen sind gleich?!

05.12.2010, 17:06

Schnups

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Edit, die bildfolgen konvergieren gegen f(0).

05.12.2010, 17:21

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Machen wir das langsam.

Die Folgen konvergieren gegen 0, richtig. Ferner gilt für die Bildfolgen: $\begin{eqnarray*} f(x^{2n})=f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y^{2n})=f(y) \end{eqnarray*}$ .

Du hast also auch:
$\begin{eqnarray*} f(\lim\limits_{x\to\infty} x^{2n})=f(x) \end{eqnarray*}$ und dasselbe für y.
Die Grenzwerte müsstest du jetzt aus der Funktion rausziehen, dann hättest du sofort die Behauptung, weil dann ja $\begin{eqnarray*} f(x)=f(0)=f(y) \end{eqnarray*}$ gälte nach Grenzübergang.

Das genau leistet aber eigentlich die Stetigkeit. Das einzige, was nicht ganz so schön ist, ist, dass 0 kein Element des Definitionsbereichs der Funktion ist. f(0) wäre also die Fortsetzung der Funktion, von der zunächst nicht klar ist, dass sie existiert.
Da müsste man eigentlich noch ein bisschen turnen.

Um das indirekt zu umgehen, kannst du auch folgendes machen:
Anstatt zu den Grenzwerten überzugehen, nimmst du dir die Definition her.
Dann zeigst du, dass du $\begin{eqnarray*} n,m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ finden kannst, sodass $\begin{eqnarray*} x^{m}-y^{n}<\delta \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist.
Jetzt schau dir mal die Epsilon-Delta-Def. von Stetigkeit an.

Gruß
MI

05.12.2010, 17:29

Schnups

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Tut mir Leid, das Intervall lautet richtig [0,1], war schlecht gedruckt, hab das Übungsblatt naemlich verkleinert gedruckt dass alles auf ne Seite passt^^. Mit diesem neuen Intervall, brauch ich dann die eps-delta definition gar nicjt oder?

05.12.2010, 17:40

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Ah, okay.

In dem Fall kannst du die Grenzwerte einfach aus der Funktion herausziehen mit Hinweis auf Stetigkeit der Funktion.

Wenn ihr noch nicht bewiesen habt, dass die Stetigkeit eben genau das tut, dann musst du doch den Weg über Epsilon-Delta gehen (weil der im Endeffekt genau das nachturnt, was der Satz: Stetigkeit --> Grenzwerte können rausgezogen werden - liefert).

Du musst als Spezialfall dann aber noch den Fall x=1 behandeln, weil es für den offenbar keine solche Folge gibt. Aber das erledigt sich trivial mit der Stetigkeit der Funktion.

Gruß
MI

05.12.2010, 17:41

René Gruber

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Ich bezweifle, dass die Behauptung richtig ist, wenn man nur im offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ operiert - hier ein Gegenbeispiel

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin\left( \frac{2\pi}{\ln(2)}\cdot \ln(-\ln(x)) \right) \end{eqnarray*}$ .

(der Plotter gerät an den Intervallgrenzen natürlich aus dem Tritt).

Wenigstens eine der beiden Intervallgrenzen - also 0 oder 1 - sollte in die Stetigkeit mit einbezogen werden.

EDIT: Wie ich sehe, ist das in der Zwischenzeit geschehen, das Beispiel hier ist aber vielleicht trotzdem ganz nützlich in der Anschauung. Augenzwinkern

05.12.2010, 17:49

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@René Gruber:

Auf jeden Fall ist das Beispiel eine Bereicherung.

Das Problem, was hier auftritt, wäre spätestens dann aufgefallen, wenn man wirklich den Beweis mit epsilon-delta mal versucht. Die x_n und y_n liegen dann immer weiter auseinander als das Delta in der Definition der Stetigkeit (was ich übersehen hatte). Man braucht also z.B. gleichmäßige Stetigkeit - dann hat man ja aber auch Fortsetzbarkeit.

Gruß
MI

05.12.2010, 17:50

Schnups

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Wie meinst du rausziehen? Wieso konvergieren die bildfolgen fur x-> unendlich?

05.12.2010, 18:04

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Ich habe das Gefühl, dass du nicht wirklich weißt, was Stetigkeit bedeutet.
Was weißt du über Stetigkeit? Nur die Definition?

Gruß
MI

05.12.2010, 18:34

Schnups

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Naja wir haben in der vorlesung bis jetzt auch noch nicht mehr gemacht. Stetigkeit heißt doch dass der grenzwert lim f(x) fuer x->x0 gleich f(x0) ist. Das weiß ich.

05.12.2010, 18:39

Schnups

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Ich mein, von nem erstsemesterstudent kann man noch nicht so große analytische grundkenntnisse verlangen Augenzwinkern

05.12.2010, 18:53

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Nein, natürlich nicht. Daher frage ich ja auch. Ich sehe auch ein, dass ich mich etwas umständlich ausgedrückt habe.

Was ich meinte ist, dass die Stetigkeit uns folgendes bringt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} f(x_n)=f(\lim\limits_{x\to \infty} x_n) \end{eqnarray*}$

und das ist ja genau das, was wir brauchen.
Nach deiner Definition ist das glaube ich ziemlich klar, oder?

Gruß
MI

05.12.2010, 19:00

Schnups

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Ja danke, ich glaub ich habs jetzt so ungefähr hingebracht :-) das war eigtl die trickreichste aufgabe des uebungszettels. Die anderen waren eigtl ganz simpel.

Gruß.

05.12.2010, 19:18

Schnups

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Aber wieso lasse ich bei den bildfolgen den limes ueber x laufen und bei den folgen ueber n?

08.12.2010, 19:18

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von MI
Nein, natürlich nicht. Daher frage ich ja auch. Ich sehe auch ein, dass ich mich etwas umständlich ausgedrückt habe.

Was ich meinte ist, dass die Stetigkeit uns folgendes bringt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} f(x_n)=f(\lim\limits_{x\to \infty} x_n) \end{eqnarray*}$

und das ist ja genau das, was wir brauchen.
Nach deiner Definition ist das glaube ich ziemlich klar, oder?

Gruß
MI

Ich habe dazu auch eine Frage. Wenn ich die Folgenstetigkeit für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x^2) \end{eqnarray*}$ separat betrachte, bringt es mich doch auf die beiden Grenzwerte gegen die die beiden Abbildungen konvergieren, oder? Ich meine:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to1} f(x_n)=f(\lim\limits_{x\to1} x_n)=f(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to0} f(x_n)=f(\lim\limits_{x\to0} x_n)=f(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to1} f(x_n^2)=f(\lim\limits_{x\to1} x_n^2)=f(1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to0} f(x_n^2)=f(\lim\limits_{x\to0} x_n^2)=f(0) \end{eqnarray*}$

PS: Andere, fleißige Helfer dürfen sich gerne beteiligen. smile

Ibn Batuta

09.12.2010, 14:49

Ibn Batuta

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Wäre nett, wenn ein Helfer sich dieser Aufgabe annehmen könnte. smile

Ibn Batuta

10.12.2010, 18:30

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Was ich nicht ganz verstehe ist, was du damit machen möchtest verwirrt

. Du kannst dir sicherlich Folgen wählen, die das leisten, aber was bringt dir das?

Ich sehe auch gerade, dass in dem Zitat (also meinem eigenen Bockmist) natürlich ein "n gegen Unendlich" stehen muss und kein x gegen Unendlich. Ich war wohl wirklich nicht ganz gut drauf.
Deine eigenen Grenzwerte sehen da aber etwas komisch aus. Soll das heißen, dass du eine Fulge wählst, für die die Folgenglieder gegen 0 oder 1 konvergieren?

Gruß
MI

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