Euler-Lagrange-Gleichung (Problem mit der Kettenregel)

05.12.2010, 14:45

monchi

Euler-Lagrange-Gleichung (Problem mit der Kettenregel)

Hi,

ich soll folgendes Funktional minimieren:
$\begin{eqnarray*} I(t)=\int_a^b \! (y(t)^2 + y'(t)^2) \, dt \end{eqnarray*}$

Die Euler-Lagrange-Dgl hat allgemein ja diese Gestalt:
$\begin{eqnarray*} F_{y} -\frac{d}{dt} F_{y'} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(t,y,y') = y(t)^2 + y'(t)^2 \end{eqnarray*}$

Leider hapert es schon bei dem Bilden der benötigten Ableitungen (Kettenregel). Meine Lösungsansätze sehen wie folgt aus

$\begin{eqnarray*} F_{y}=2y(t)y'(t)+2y'(t)y''(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{y'}=2y'(t)y''(t) \end{eqnarray*}$ (hiervon müsste ich dann nochmal das Differential $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} F_{y'} \end{eqnarray*}$ bilden)

Ist das totaler Murks?

Gruß,
Monchi

05.12.2010, 15:13

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Ist das totaler Murks?

Ein bisschen schon. Augenzwinkern

Du schreibst dir das alles auch ein bisschen ungünstig hin: Angenehmer so

$\begin{eqnarray*} F(t,y,\dot y) = y^2 + \dot y^2 \end{eqnarray*}$

und dann sollte auch klar sein, wie man $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial y}, \, \frac{\partial F}{\partial \dot y} \end{eqnarray*}$ berechnet.

Um es vielleicht noch ein bisschen extremer rüberzubringen: man könnte auch

$\begin{eqnarray*} F(t,y,z) = y^2 + z^2 \end{eqnarray*}$

schreiben. Man sieht also, dass F gar nicht von t abhängt. Man muss sich dieser Unterscheidung unbedingt bewusst sein (evtl. solltest du dir auch nochmal die Herleitung der Euler-Lagrange Gleichung anschauen), sonst führt das nämlich leicht zur totalen Verwirrung mit den partiellen Ableitungen und totalen Ableitungen etc.

05.12.2010, 19:50

monchi

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Danke für den Hinweis Gott

wenn ich das richtig verstanden habe müsste folgendes richtig sein:

$\begin{eqnarray*} F_{y}=2y(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{y'}=2y'(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}F_{y'}=F_{y't}1+F_{y'y}y'+F_{y'y'}y''=2y'' \end{eqnarray*}$

Zusammen:
$\begin{eqnarray*} 2(y-y'')=0 \end{eqnarray*}$

Ich hab mir die Herleitung nochmal angeschaut. (Bsp. in der Vorlesung war das Brachistochrone-Problem). An einer Stelle kann ich die Rechnung nicht ganz nachvollziehen:

$\begin{eqnarray*} T(y)=\int_a^b \! \sqrt{\frac{1+(y'(x))^2}{y(x)} } \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x,y,y') = \sqrt{\frac{1+(y'(x))^2}{y(x)} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=F_{y} -\frac{d}{dx} F_{y'} =F_{y} - (F_{y'x} +F_{y'y}y'+F_{y'y'}y'') \end{eqnarray*}$
Da x nicht explizit in dem Funktional auftritt gilt: $\begin{eqnarray*} F_{y'x} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0= F_{y} -F_{yy'}y' -F_{yy'}y'' \end{eqnarray*}$

Nun kommt die Zeile die ich nicht nachvollziehen kann. Das ganze soll gleich dem hier sein:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (F-F_{y'}y') \end{eqnarray*}$

Ich hab mal versucht, diesen Schritt "rückwärts zu rechnen".
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (F-F_{y'}y')= \frac{d}{dx}F-\frac{d}{dx}F_{y'}y' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}F= F_{x}1 +F_{y}y'+F_{y'}y'' = F_{y}y'+F_{y'}y'' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}F_{y'}y' = (F_{y'x}1+F_{y'y}y'+F_{y'y'}y'')y'+F_{y'}y'' =(F_{y'y}y'+F_{y'y'}y'')y'+F_{y'}y'' \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?

05.12.2010, 23:34

gonnabphd

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Jop, das oben sollte so alles stimmen. Habe jedenfalls keinen Fehler entdecken können. Augenzwinkern

06.12.2010, 12:21

monchi

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Besten Dank!

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