Zweidimensionaler Zufallsverktor

05.12.2010, 14:48

Vektoren

Zweidimensionaler Zufallsverktor

Meine Frage:
Hallo.
Ich brauche Hilfe bei der Bestimmung eines Erwartungswertes und einer Kovarianzmatrix bei zweidimensionalen Zufallsvektoren.

Meine Ideen:
Bekannt ist mir natürlich die Berechnung des Erwartungswertes eindimensional. Ich denke, darauf muss sich gestützt werden.
Nur wie?

05.12.2010, 14:55

René Gruber

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Was hast du denn von dem Zufallsvektor gegeben? Bzw., was ist das überhaupt für einer: diskret oder stetig, ... Informationen, bitte!

05.12.2010, 19:33

Vektoren

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Entschuldige.

Der ist stetig und die Dichte lautet wie folgt:
f(a; b) = (3/2)a²b + 1/2(b - (1/2)) - (3/4)a² Ind[a,1](a) Ind[1,2](b)

Noch eine weitere Frage: Wie berecht man Marginaldichten?

Anmerkung: Ind = Indikatorfunktion

05.12.2010, 19:35

Vektoren

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Korrektur: Ind [0,1) (a)

05.12.2010, 19:44

René Gruber

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Zitat:

Original von Vektoren
Noch eine weitere Frage: Wie berecht man Marginaldichten?

$\begin{eqnarray*} f_X(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

durch die Indikatorfunktionen werden natürlich die Integrationsintervalle effektiv angepasst.

Und für die Kovarianz $\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} E(XY) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} xyf_{X,Y}(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

berechenbar.

06.12.2010, 17:49

Vektoren

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Danke, das habe ich so gemacht.

Kannst du mir noch sagen wie es mit der Kovarianzmatrix aussieht?

07.12.2010, 16:00

Vektoren

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Oder weiß vielleicht jemand, wie man dort Unabhängigkeiten zeigt?

07.12.2010, 16:29

René Gruber

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Wie die Kovarianz berechnet wird, habe ich doch oben gesagt, und die Kovarianzmatrix besteht doch aus einzelnen (Ko-)Varianzen.

Und Unabhängigkeit kann man mit der Kovarianzmatrix gar nicht zeigen - allenfalls Abhängigkeit (also fehlende Unabhängigkeit): Wenn die Kovarianz zweier Zufallsgrößen ungleich Null ist, dann ist das hinreichend für die Abhängigkeit dieser Zufallsgrößen. Es ist aber nicht notwendig, d.h. die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht.

07.12.2010, 19:14

Vektoren

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Zitat:

Original von René Gruber
Wie die Kovarianz berechnet wird, habe ich doch oben gesagt, und die Kovarianzmatrix besteht doch aus einzelnen (Ko-)Varianzen.

Ja, genau, aber diese Formel gibt doch nur eine Lösung an, wie kommt es dann zu der Matrix bzw. den einzelnen Kovarianzen?

07.12.2010, 19:22

René Gruber

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Auf der Hauptdiagonalen dieser 2x2-Kovarianzmatrix stehen $\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(X,X) = \operatorname{var}(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(Y,Y) = \operatorname{var}(Y) \end{eqnarray*}$ , auf der Nebendiagonalen $\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(X,Y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(Y,X) \end{eqnarray*}$ , die beide aus Symmetriegründen vom Wert einander gleich sind.

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