Folge als Vektorraum

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05.12.2010, 15:05	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge als Vektorraum Meine Frage: Im Anhang hab ich mal die Aufgabe gestellt. Meine Ideen: Eigentlich ist die doch ziemlich simpel, was ich aber nicht glauben kann. Ist es tatsächlich so, dass ich für alle 3 Mengen, die die entsprechenden Folgen enthalten, die 8 Vektorraumaxiome prüfen muss? Das kann doch nicht sein, weil im Prinzip wäre das dann 3 Mal genau das identische. Eben mit dem neutralen Element als Nullfolge und dem Inversen, indem ich einfach ein - vor die Folge setze?? Ich denke, dass der Unterschied - wenn es ihn gibt - irgendwas mit dem "konvergent" und "beschränkt" zu tun hat, aber ich komm nicht drauf. Bin für jeden Tipp dankbar. Gruß
05.12.2010, 15:25	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Der Clou liegt darin, dass du zeigen musst, dass die Elemente, die du dir da über die Summe definierst, wieder in dem Vektorraum liegen. Es genügt also zu zeigen (warum?), dass die Summe der Elemente im Vektorraum wohldefiniert ist. Der Rest ist dann nur noch Formalität. Gruß MI
05.12.2010, 15:25	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum sry. Fehler.
05.12.2010, 16:00	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Ich bin mir eig ziemlich sicher, dass es über die Vektorraumaxiome für Addition und Multiplikaiton geht. Mein Problem ist jetzt nur, dass doch eig die Addition und Multiplikation für jede Folge definiert ist. Also es eig vollkommen egal ist, ob diese folge konvergiert oder sonst was... Oder mach ich mir da die Sache zu einfach?? Man kann natürlich schon sagen, dass wenn ich die Axiome für die konvergente Folge nachgewiesen habe, dann erübrigt sich der Nachweis für dir Nullfolge j_0, da die Nullfolge ja nur ein "spezielle" konvergente Folge ist. Aber die Beschränktheit - ich weiß einfach nicht wo da der Trick ist
05.12.2010, 16:20	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Nein, du hast nicht verstanden, was ich sagen will. Du musst zeigen: Wenn $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (y_n) \end{eqnarray}$ Nullfolgen (beschränkte Folgen, konvergente Folgen) sind, dann ist auch $\begin{eqnarray} (x_n)+(y_n) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} r\cdot (x_n) \end{eqnarray}$ eine Nullfolge (beschränkte Folge, konvergente Folge). Das ist natürlich nur eine Anwendung der Grenzwertsätze, aber trotzdem noch zu zeigen. Der Rest ist dann tatsächlich klar. Gruß MI
05.12.2010, 17:47	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Ja das sind Axiome eines Unterraumnachweises, aber hier soll ja nachgewiesen, dass es sich überhaupt um einen Vektorraum handelt, also auch ein Neutrales und ein Inverses Element existiert. Oder meinst du, dass ich deine zwei BED bestätigen soll, und dann noch EINMAL meine 8 Vektorraumaxiome nachrechnen. Aber das würde ja keinen Sinn ergeben... Als Anmerkung: unser Prof hat noch gemeiint, wenn wir die Aufgabe besonders schick lösen wollen, dann können wir beim Nachweis der Vektorraumaxiome eine besonders clevere Reihenfolge wählen. Vllt meint er damit: Ich weiße z.B. Assozivität für beschränkte Folgen nach, dh ich kann das automatisch auf die konvergente Folge anwenden, da ja eine konvergente Folge automatisch beschränkt ist (soweit ich weiß) und eine konvergente ist automatisch wieder die Nullfolge. Damit wäre duch einen geschikten Beweis die Assozivität für alle 3 Nachgewiesen?!?! Aber schon mal vielen Dank für deine Mühe!!!
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05.12.2010, 18:02	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Was ich meinte ist folgendes: Wenn du gezeigt hast, dass die skalare Multiplikation und die Addition wohldefiniert sind, dann kannst du im Grunde sofort sagen, dass der Rest klar ist, weil die x_n und die r aus IR stammen und IR ein Vektorraum ist. Soll heißen: Du hast jetzt (x_n) als Folgenglied. Nach deinem Vektorraumaxiom gibt's ein inverses Element. Jetzt behauptest du: Das ist (-x_n). Also musst du zeigen: $\begin{eqnarray} (x_n)+(-x_n)=(0) \end{eqnarray}$ Wenn du jetzt aber gezeigt hast, dass die Summe wohldefiniert ist, dann gilt: $\begin{eqnarray} (x_n)+(-x_n)=(x_n-x_n)=(0) \end{eqnarray}$ weil -x_n das inverse Element von x_n im Vektorraum IR ist. Soll heißen: Du bekommst aus der Wohldefiniertheit der Addition eigentlich geschenkt (jedes Axiom = eine Zeile), dass die Folgenmenge eine abelsche Gruppe bildet und analog aus der Wohldefiniertheit der Multiplikation eben die Axiome für die skalare Multiplikation. Und JA, du brauchst dann die 8 Axiome jeweils nur für EINEN Fall durchzuturnen, weil die Addition ja überall gleich funktioniert. Gruß MI
05.12.2010, 18:39	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Jetze weis ich glaub ich was du meinst: Ich weiße als erstes nach, dass die Addition und Multiplikation wohldefiniert ist. Dann bedeutet dies ja nichts anderes, als das die zwei Operation repräsentantenunabhängig sind. Und dann kommen die Vektorraumaxiome EINMAL und ich bin fertig. Aber wie soll ich hier die Wohldefiniertheit nachweisen - eig ist das doch klar...ich weiß nicht wie ich das formulieren kann... Aber die Idee ist wirklich gut !!
05.12.2010, 18:45	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Naja, du musst halt zeigen, dass die so definierte Summe zweier Nullfolgen (beschränkter Folgen, konvergenter Folge), wieder eine Nullfolge ist (beschränkte Folge, konvergente Folge). Im Klartext: zz: Zwei Nullfolgen sind gegeben. Zeige, dass die Folge mit gliedweise Addition wieder eine Nullfolge ist. Beweisen kann man das z.B. ganz einfach über die Grenzwertsätze. Noch mal zu meinem obigen Post: Da ist noch eine Ungenauigkeit drin für das inverse Element: Du musst natürlich erst noch sagen, warum (-x_n) überhaupt eine Nullfolge (beschr. Folge, konv. Folge) ist. Das kann man aber natürlich auch mit der skalaren Multiplikation machen , da (x_n) eine NF (BF, konv. F) ist und damit (-1)*(x_n)=(-x_n) auch. Gruß MI
05.12.2010, 19:04	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Sehr gut, sehr gut. Den Beweis, dass eine Summe zweier Nullfolgen wieder eine Nullfolge ist, ist ja eigentlich synchron zum Nachweis bei Cauchyfolgen, bei denen auch die Summe wieder eine CF ist. Und die Multiplikation ist ja klar, kann man das so schreiben: Wenn ich ein Skalar mit einer Folge multipliziere, dann wird ja eigentlich nur jedes Folgenglied mutltipliziert und foglich bleibt die entsprechende Folge enthalten. Weil da tun ich mich schwer mit der mathematischen formulierung. Wie auch hiermit, wo mich die Formulierung interessiern würde, bzw. der Beweis: Wenn eine Nullfolge und eine Beschränkte Folge gegeben sind, und ich die Folgeglieder miteinander multiplziere, dann entsteht ja wieder eine Nullfolge - aber wie beweis/schreib ich das denn?? Aber soweit so gut - das ist schon mal eine Menge. Und du hast mir echt geholfen - auf die Wohldefiniertheit wär ich nicht gekommen!! Danke
05.12.2010, 19:38	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Wäre super wenn du mir noch einen Tipp geben könntest, wie man das mathematisch korrekt und vollständig formuliert. Vielen Dank! Grup
05.12.2010, 21:45	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Naja, wenn ihr die Grenzwertsätze hattet, ist das nicht schwierig. Es gilt für die Nullfolgen: $\begin{eqnarray} (a_n),(b_n) \end{eqnarray}$ Nullfolgen, also gilt für $\begin{eqnarray} (a_n+b_n) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n+\lim\limits_{n\to\infty} b_n=0 \end{eqnarray}$ wobei du jetzt noch an die Gleichheitszeichen dranschreiben musst, was du jeweils verwendet hast. Analog zur Konvergenz der Summe konv. Folgen (da steht dann eben da: a+b, wenn das die respektiven Grenzwerte sind). Für die Beschränktheit sollte klar sein, dass man das ganze gegen die Summe der oberen Schranken der beiden Folgen abschätzen kann. Für die Multiplikation mit einem Skalar gilt: Du musst zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray} r(a_n) \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist, also zz.: Für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon_0>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|r\cdot a_n\|<\varepsilon_0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq N_0 \end{eqnarray}$ . Nun gilt $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine Nullfolge, also: $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ Nullfolge, also gibt es für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon_0>0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|a_n\|<\varepsilon_0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ . Wähle jetzt $\begin{eqnarray} \varepsilon:=\varepsilon_0/\|r\| \end{eqnarray}$ , dann gilt mit $\begin{eqnarray} N_0=N \end{eqnarray}$ die Behauptung. Also ist $\begin{eqnarray} r(a_n) \end{eqnarray}$ eine Nullfolge. Analog für konvergente Folgen. Für beschränkte muss man nur die Schranke angeben (sollte klar sein). Gruß MI
06.12.2010, 19:22	FAUPhy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge als Vektorraum Die Grenzwertsätze haben wir jetzt noch nicht explizit bewiesen. Aber dass ich den Limes aufspalten kann, das müsste ja wohl so klar sein. Aber zur Sicherheit frag ich nochmal nach. Nichts desto trotz hat es ziemlich viel gebracht. Danke!!! Gruß
06.12.2010, 19:45	captainjack	Auf diesen Beitrag antworten »
http://de.wikipedia.org/wiki/Folgenraum Als Anreiz für die komplette Hausaufgabe....

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