Stetigkeit kurze Frage

05.12.2010, 16:38

Templa

Stetigkeit kurze Frage

Meine Frage:
Hallo, ich habe nur eine kurze Frage zum Thema Stetigkeit einer Funktion.
Wir haben in der Vorlesung 3 Fälle zur Stetigkeit beschrieben:

1. Fall: Grenzwert in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert, aber Funktionswert existiert nicht oder hat einen anderen Wert -> Funktion f hat eine Setigkeitslücke

2. Fall: $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ existiert, aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) \end{eqnarray*}$ existiert nicht -> f ist unstetig

3. Fall halbstetigkeit von rechts bzw. links

Meine Ideen:
Ich habe nun eine Funktion bei der weder ein Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ noch ein Funktionswert existiert (ist eine Polstelle und an Polstellen kann eine Funktion logischerweise ja nie stetig sein...)

Die Funktion lautet btw :

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}<br /> \end{eqnarray*}$

Diese Funktion würde ich dann als unstetig bezeichnen, ist das korrekt?

05.12.2010, 17:59

Templa

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RE: Stetigkeit kurze Frage
Müsste ich auch noch die Stetigkeit für x gegen Null untersuchen, da dies ja auch eine Lücke in der Defnitionsmenge ist... ?

05.12.2010, 18:27

corvus

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RE: Stetigkeit kurze Frage

Zitat:

Original von Templa

Ich habe nun eine Funktion bei der
weder ein Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$
?..du meinst wohl : an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = a \end{eqnarray*}$
noch ein Funktionswert existiert
(ist eine Polstelle und an Polstellen kann eine Funktion logischerweise ja nie stetig sein...)

Die Funktion lautet btw :

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}<br /> \end{eqnarray*}$

Diese Funktion würde ich dann als unstetig bezeichnen, ist das korrekt?

du kannst nicht generell sagen, die Funktion sei unstetig
Stetigkeit ist ein Begriff, der "punktweise" definiert ist..
also in deinem Beispiel ist die korrekte Formulieung:
f ist unstetig an der Stelle x=a ..( .. und stetig für alle anderen x>0)

Zitat:

Müsste ich auch noch die Stetigkeit für x gegen Null untersuchen,
da dies ja auch eine Lücke in der Defnitionsmenge ist... ?

wie kommst du denn auf diese Idee?
... es ist doch : f(0)= 1 (da ja eh a>0)
nur: an der Stelle x=0 existiert kein Grenzwert (sondern nur ein "rechtsseitiger GW")
also...?
.

05.12.2010, 18:59

Templa

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f(0)=-1 oder nicht?
und ja, das mit dem rechtsseitigen Grenzwert wusste ich, der beträgt ebenfalls -1, also liegt hier halbstetigkeit von rechts vor.

könnte ich dann sagen, dass die Funktion halbstetig von rechts für x=0, unstetig für x=a und stetig für alle anderen x >0 ist?

05.12.2010, 19:06

corvus

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Zitat:

Original von Templa
f(0)=-1 oder nicht? na klar.. smile

könnte ich dann sagen, dass die Funktion halbstetig von rechts für x=0,
unstetig für x=a und stetig für alle anderen x >0 ist?

............................................... ok

05.12.2010, 19:23

Templa

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Diese Pünktchen verwirren mich jetzt etwas Big Laugh

Wäre das so korrekt, oder nicht? Oder fehlt da noch was?

Übrigens: könnte ich die Lösung dann so als Satz formulieren oder wäre es besser, wenn ich dann schreibe

{ halbstetig von rechts für x=0
{ stetig für 0<x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ a
f(x) ist { unstetig für x=a
{ stetig für x> a

Oder gibt es da eine andere Schreibweise? Hatten dazu bislang noch nichts ^^

05.12.2010, 19:39

corvus

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Zitat:

Original von Templa
Diese Pünktchen verwirren mich jetzt etwas
und sollten doch nur das ok mitten ins Bild bringen smile

Übrigens: könnte ich die Lösung dann so als Satz formulieren (warum nicht?)
oder wäre es besser, wenn ich dann schreibe

f(x) ist ..
.............{ halbstetig von rechts für x=0 : ( <- an der Stelle x=0)
............ { stetig für 0<x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ a <- wieso denn hier das kleiner - gleich ?
............ { unstetig für x=a : ( <- an der Stelle x=a)
............ { stetig für alle x > a

05.12.2010, 19:53

Templa

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Ups, as kleiner gleich war natürlich fehl am Platz (mal wieder nicht richtig nachgedacht...)
Okay, dann freu ich mich über die Pünktchen ^^
Vielen Dank für die Unterstützung

Schönen 2. Advent noch smile

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