Spline S=0 ?

18.11.2006, 18:22	Sumsi	Auf diesen Beitrag antworten »
Spline S=0 ? Wir sollen folgendes zeigen: S sei ein kubischer Spline auf $\begin{eqnarray} [x_0, x_4] \end{eqnarray}$ bzgl. der Zerlegung $\begin{eqnarray} \Delta:x_0<...<x_4 \end{eqnarray}$ . Außerdem sei $\begin{eqnarray} S(x)=0 \quad \forall_{x \in [x_0,x_1] \cup [x_3,x_4]} \end{eqnarray}$ . Zeige: $\begin{eqnarray} S \equiv 0 \end{eqnarray}$ Aus der Voraussetzung ließt man ab, daß die erste und zweite Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ = 0 ist. Aber wie folgert man denn nun, daß auch $\begin{eqnarray} S(x_2)=0 \end{eqnarray}$ ist? Das muß doch gar nicht sein, oder?
18.11.2006, 19:59	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo sumsi, Du willst also einen Spline bestimmen im Bereich [x_1,x_3] der 4 Randbedingungen genügen muß( normalerweise hat man 2) f'(x_1)=0 f'(x_3)=0 f''(x_1)=0 f''(x_3)=0 Zusätzlich hat man am inneren Knoten 2 Bedingungen. f'(x_2)=f'(x_2) f''(x_2)=f''(x_2) Und die Interpolationsbedingung f(x_1)=0 f(x_3)=0 f(x_2)=? DEr Spline setzt sich aus 2 kubischen Polynomen mit je 4 PArametern zusammen. 8 Gleichungen - 8 Parameter Das sieht gut aus. viele Grüße mathemaduenn
20.11.2006, 09:19	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@mathemaduenn Alles soweit Ok, nur eine Kleinigkeit hast du vergessen: Die Stetigkeit der Funktion selbst (nicht nur ihrer Ableitungen) an der Stelle $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ , ausgedrückt in $\begin{eqnarray} f(x_2-0) = f(x_2+0) \end{eqnarray}$ (diese Schreibweise mit links- und rechtsseitigen Grenzwert finde ich etwas exakter als $\begin{eqnarray} f(x_2)=f(x_2) \end{eqnarray}$ ). Nun haben wir also 9 Bedingungen für 8 Variablen, also ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem für die 8 Splinekoeffizienten. Macht aber nichts, da die rechte Seite komplett Null ist, und damit "alle Koeffizienten gleich Null" auf jeden Fall Lösung ist. Allgemein ist es ja so: Kubische Splines haben bei Vorgabe aller Funktionswerte genau zwei Freiheitsgrade übrig. Normalerweise nagelt man die dann über die Randbedingungen fest, wie z.B. "freier Rand", wo für die Krümmung an beiden Spline-Enden der Wert Null gefordert wird. Im vorliegenden Fall haben wir einen Freiheitsgrad mehr, weil der Wert $\begin{eqnarray} f(x_2) \end{eqnarray}$ vorab nicht festgelegt ist. Dafür haben wir aber statt zwei sogar vier zusätzliche Randbedingungen, nämlich $\begin{eqnarray} f'(x_1) = f''(x_1) = f'(x_3) = f''(x_3) = 0 \end{eqnarray}$ , was bei drei Freiheitsgraden in der oben erwähnten Überbestimmung resultiert.

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