Abstand Punkt Parabel ohne GTR

05.12.2010, 19:13	Nicht-Extremwertler	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand Punkt Parabel ohne GTR Meine Frage: Hey Leute, ich hab einen gegebenen Punkt, und eine Parabel 2.Grades, also f(x) = ax² + bx + c. So jetzt würde ich gern Wissen an welchem Punkt der Parabel, der Abstand zum gegebenen Punkt der kürzeste ist, allerdings ohne GTR. Meine Ideen: Also wie es mit GTR geht ist ja recht einfach, einfach das ganze in die Abstandsformel Wurzel aus ( x vom Punkt - x )² + ( y vom Punkt - f(x) )² und das ganze in den GTR und minimum bestimmen. Allerdings möchte ich es ja ohne GTR machen. So also meine Überlegung wäre, dass ich ja mit Hilfe der Ableitung die Steigung der Parabel in jedem Punkt berechnen könnte. Und ich bräuchte ja den Punkt, an dem bei der Ableitung ein Wert rauskommt, der das Ergebnis von -1/der Steigung der Gerade vom gegebenen Punkt zum Punkt der Parabel wiederspiegelt. Es muss ja ne Orthogonale sein. Aber ich weiß nicht wirklich wie ich das umsetzen kann. Über nen hilfreichen Denkanstoß wäre ich sehr erfreut. Schonmal vielen Dank=)
05.12.2010, 19:43	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand Punkt Parabel ohne GTR Du könntest das Minimum der Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=(x-x_P)^2+(f(x)-y_P)^2 \end{eqnarray}$ algebraisch bestimmen. Das läuft allerdings auf die Nullstelle(n) eines Polynoms vom Grad 3 hinaus. Dazu hätte ich keine Lust. Dein Lösungsansatz Schnittpunkt Normalgerade Parabel ist bequemer: $\begin{eqnarray} -1/f'(x_N)=\frac{f(x_N)-y_P}{x_N-x_P} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x_N,f(x_N)) \end{eqnarray}$ ist der Schnittpunkt der Normalen mit der Parabel. edit Der letzte Ansatz führt auch auf ein kubisches Polynom. Die Lösung ist $\begin{eqnarray} x_N=1/6/a(27b+54ax_P+33 ^{(1/2)}(8+48ac-48ay_P+15b^2-48ab^2c+48ab^2y_P+96a^2y_Pb^2c+96a^2y_P^2-64a^3y_P^3+64a^3c^3+6b^4-b^6-192a^2y_Pc+96a^2c^2-48a^2y_P^2b^2+192a^3y_P^2c-12ay_Pb^4-192a^3y_Pc^2+12b^4ac-48b^2a^2c^2+108abx_P+108a^2x_P^2) ^{(1/2)}) ^{(1/3)}-1/2(2-4ay_P-b^2+4ac)/a/(27b+54ax_P+33 ^{(1/2)}(8+48ac-48ay_P+15b^2-48ab^2c+48ab^2y_P+96a^2y_Pb^2c+96a^2y_P^2-64a^3y_P^3+64a^3c^3+6b^4-b^6-192a^2y_Pc+96a^2c^2-48a^2y_P^2b^2+192a^3y_P^2c-12ay_Pb^4-192a^3y_Pc^2+12b^4ac-48b^2a^2c^2+108abx_P+108a^2x_P^2) ^{(1/2)}) ^{(1/3)}-1/2/ab<br /> \end{eqnarray}$ Falls das jemand kontrollieren möchte, hier nochmal dasselbe, aber leichter zu kodieren: xN=1/6/a(27b+54axP+33^(1/2)(8+48ac-48ayP+15b^2-48ab^2c+48ab^2yP+96a^2yPb^2c+96a^2yP^2-64a^3yP^3+64a^3c^3+6b^4-b^6-192a^2yPc+96a^2c^2-48a^2yP^2b^2+192a^3yP^2c-12ayPb^4-192a^3yPc^2+12b^4ac-48b^2a^2c^2+108abxP+108a^2xP^2)^(1/2))^(1/3)-1/2(2-4ayP-b^2+4ac)/a/(27b+54axP+33^(1/2)(8+48ac-48ayP+15b^2-48ab^2c+48ab^2yP+96a^2yPb^2c+96a^2yP^2-64a^3yP^3+64a^3c^3+6b^4-b^6-192a^2yPc+96a^2c^2-48a^2yP^2b^2+192a^3yP^2c-12ayPb^4-192a^3yPc^2+12b^4ac-48b^2a^2c^2+108abxP+108a^2xP^2)^(1/2))^(1/3)-1/2/ab
06.12.2010, 10:55	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Normale auf Parabel durch Punkt - Antwortposter bitte nochmal reinschauen! Auch wenn sich der Threadstarter für seine Frage wohl nicht mehr interessiert: Kennt jemand einen Weg, der ohne kubisches Polynom auskommt?
06.12.2010, 13:01	Threadersteller	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale auf Parabel durch Punkt - Antwortposter bitte nochmal reinschauen! Natürlich interssiert mich die Lösung noch. Scheint mir aber so, ja wie soll ich sagen unbekannt. Mein lehrer meinte, wir müssen dass mit dem aktuellen stoff lösen können.... Aber schonmal Danke für die Hilfe
06.12.2010, 17:34	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale auf Parabel durch Punkt - Antwortposter bitte nochmal reinschauen! Ich komme auf keinen Weg ohne Lösung einer kubischen Gleichung. Hexerei ist das nicht. Es handelt sich um den Fall 1 des Links. Bitte poste die einfachere Lösung, wenn Du eine findest oder erfährst!

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