Stetigkeit von Funktionen beweisen

05.12.2010, 20:26

Diana.be

Stetigkeit von Funktionen beweisen

Meine Frage:
Hallo!

Ich sitze seit einigen Stunden vor folgenden Aufgaben und weiß leider absolut nicht weiter. unglücklich

Ich soll den maximalen Definitionsbereich der folgenden Funktionen angeben sowie sie auf Stetigkeit untersuchen.

1) $\begin{eqnarray*} f(x) = 2 - \frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^{3}-1 }{x-1} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} f(x) = xD(x) \end{eqnarray*}$

Zur Stetigkeit muss ich laut unserem Tutor nur solange Umformen, bis ich am Ende $\begin{eqnarray*} |x-p| < \delta \end{eqnarray*}$
herausbekomme... Irgendwie stell ich mich dabei aber wie der letzte Mensch an...

Meine Ideen:
Bisher habe ich mir überlegt:

zu 1)
Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D_{f} = \mathbb R \backslash\ \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

Behauptung: f ist stetig auf $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ = ... . Sei |x-p| < $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$

Dann ist
$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(p)| = |2-\frac{x}{|x|} -(2- \frac{p}{|p|})| = |-\frac{x}{|x|} + \frac{p}{|p|}| =... \end{eqnarray*}$

zu 2)

Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D_{f} = \mathbb R \backslash\ \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$

Behauptung: f ist stetig auf $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ = ... . Sei |x-p| < $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$

Dann ist
$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(p)| = \frac{x^{3}-1 }{x-1} - \frac{p^{3}-1 }{p-1} =... \end{eqnarray*}$

zu 3) leider gar nichts, da ich nicht verstehe, was dieses D(x) bedeuten soll. Mit D ist vermutlich der Definitionsbereich gemeint, aber kann der ein x wieder abbilden? *confused*

ist echt etwas wenig... aber ich werd aus meinen ganzen Büchern auch nicht schlauer. unglücklich

Hoffe mir kann hier jemand helfen.

Ein herzliches Dankeschön im Voraus smile

Diana

06.12.2010, 09:42

klarsoweit

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RE: Stetigkeit von Funktionen beweisen
zu 1: Betrachte f(x) für x > 0 und für x < 0 und löse den Betrag auf. Was kannst du nun über die Stetigkeit sagen?

zu 2: Mache eine Polynomdivision.

06.12.2010, 22:35

Diana.be

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Sooo, hab jetzt ein paar Lösungen. Kannst du nochmal rübergucken, ob das so korrekt ist? smile

1)

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2-\frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_f = \mathbb R \backslash \left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$

Behauptung: f ist stetig auf D_f.

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x \in B_\delta \cap D \Leftrightarrow |x-p| < \delta. \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} f(x) - f(p)| = |2-\frac{x}{|x|} - (2-\frac{p}{b|p|})| = |\frac{p}{|p|} -\frac{x}{|x|}| \end{eqnarray*}$

Für x>0 gilt also: $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |\frac{p}{p} - \frac{x}{x}| = |1-1| = 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x \in B_\delta \cap D \end{eqnarray*}$ , gilt: $\begin{eqnarray*} 0 \leq | |x| - |p| | \leq |x-p| < \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

Analog gilt für x<0:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |\frac{p}{-p} - \frac{x}{-x}| = |-1+1| = 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x \in B_\delta \cap D \end{eqnarray*}$ , gilt: $\begin{eqnarray*} 0 \leq | |x| - |p| | \leq |x-p| < \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

Insgesamt folgt:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(p)| = |2-\frac{x}{|x|} - (2-\frac{p}{|p|})| = |\frac{p}{|p|} -\frac{x}{|x|}| = |-1+1| = 0 \leq | |x| - |p| | \leq |x-p| < \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

=================================

2)

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^{3}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_f = \mathbb R \backslash \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$

Behauptung: f ist stetig auf D_f.

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{ \epsilon }{|x+p|+1} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x \in B_\delta \cap D \Leftrightarrow |x-p| < \delta. \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich mit Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = x^{2}+x+1 \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} |f_1(x) - f_1(p)| = |x^{2}+x+1-(p^{2}+p+1)| = |x^{2}-p^{2}+x-p| \leq |x^{2}-p^{2}| + |x-p| < |x^{2}-p^{2}| + \delta = |(x-p)(x+p)| + \delta < | \delta (x+p)| + \delta = \delta ( |x+p|+1 ) \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 10:41

klarsoweit

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Du hast nicht das gemacht, was ich gesagt habe. Was soll die Quälerei mit der epsilon-delta-Definition?

07.12.2010, 22:32

Diana.be

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Willst du darauf hinaus, dass bei

1. immer eine konstante Funktion herauskommt und diese auf dem Definitionsbereich immer stetig ist?

und 2. dass es eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist und diese ebenfalls auf dem Definitionsbereich stetig ist?

Wie würde man das denn formal richtig begründen?
Mehr würde mir jetzt nicht einfallen, formal haben wir Stetigkeit halt nur mit der Epsilon-Delta-Methode bewiesen.. unglücklich

Liebe Grüße,
Di.be

07.12.2010, 22:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Diana.be
Willst du darauf hinaus, dass bei

1. immer eine konstante Funktion herauskommt und diese auf dem Definitionsbereich immer stetig ist?

und 2. dass es eine ganzrationale Funktion zweiten Grades ist und diese ebenfalls auf dem Definitionsbereich stetig ist?

Ja.

Zitat:

Original von Diana.be
Wie würde man das denn formal richtig begründen?

Genau so, wie du es gerade gemacht hast.

Zitat:

Original von Diana.be
Mehr würde mir jetzt nicht einfallen, formal haben wir Stetigkeit halt nur mit der Epsilon-Delta-Methode bewiesen.. unglücklich

Bei der konstanten Funktion würde ich das ja noch akzeptieren, aber bei dem Polynom würde ich das nicht einsehen und in den Streik treten.

09.12.2010, 02:12

yo1234

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Hey klarsoweit,

kannst du noch ein Ansatz zu der Aufgabe 3) geben?

Also f(x) = xD(x)

Dabei ist D die Dirichelt Funktion.

Danke schonmal in Voraus.

09.12.2010, 12:51

Diana.be

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Dann vielen vielen Dank klarsoweit. smile

Zu 3.

Dirichlet-Funktion ist mir inzwischen auch klargeworden. Die Dirichlet-Funktion ist nicht stetig, folglich müsste auch x*D(x) nicht stetig sein.

Der Definitionsbereich ist |R und für x>1 vergrößert x ja nur den Abstand zwischen den f(x)-Werten.
Oder? smile

Liebe Grüße,
Di.be

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