Konvergenz

05.12.2010, 21:40

Jojoe

Konvergenz

Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich habe hier folgende Aufgabe:
0 < a < b < 1
und ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{b^{n}}{a^{n}} \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert.

Meine Ideen:
Ich habe das nun mit dem Majorantenkriterium versucht...
damit habe ich erhalten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{b^{n}}{a^{n}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} < \lim_{n \to \infty } \frac{1}{a^{n}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ --> somit existiert der Grenzwert für die Majorante nicht...
aber ich glaube, das sagt mir jetzt noch nicht wirklich, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{b^{n}}{a^{n}} \end{eqnarray*}$ in R nicht existiert, oder?
WIe kann ich das denn rausbekommen? Ich vermute mal, dass mein MAjorantenkriteriumansatz mich gar nicht weiterbringt, oder?

Es wäre toll, wenn mit jemand helfen könnte... ich scheiter schon wieder an dieser kleinen Aufgabe....
Danke schonmal im Voraus!

06.12.2010, 08:56

system-agent

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RE: Konvergenz
Was darfst du denn dazu verwenden?
Du könntest zum Beispiel zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist aber dass sie nicht beschränkt ist. Daraus folgt die Divergenz.

Zitat:

Original von Jojoe
Ich habe das nun mit dem Majorantenkriterium versucht...

Du sollst zeigen dass die Folge divergiert. Wenn eine Majorante [also etwas das immer grösser ist als das was du betrachten willst] divergiert, dann sagt das nichts. Zb ist $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ eine Majorante von $\begin{eqnarray*} b_n=1 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ divergiert aber $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Wenn dann musst du eine Minorante finden, also etwas das immer kleiner ist als das was du betrachten willst.

Zitat:

Original von Jojoe
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{b^{n}}{a^{n}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} < \lim_{n \to \infty } \frac{1}{a^{n}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$

Diese Zeile ist formaler Unsinn. Das selbst wenn jedes Folgenglied einer Folge immer strikt grösser ist als das einer anderen [also " $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ "], dann kann im Grenzwert trotzdem eine Gleichheit auftreten. Du musst also " $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ " schreiben.
Ausserdem ist natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ quatsch...

06.12.2010, 17:24

Jojoe

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RE: Konvergenz
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort erstmal! smile

Also, dass die Folge monoton wachsend ist, habe ich jetzt (hoffentlich richtig) mit vollständiger Induktion gezeigt! - das geht doch mit vollst. Induktion, oder?

Aber wie kann ich denn jetzt zeigen, dass sie nicht beschränkt ist...?
Es wär super, wenn du mir da nochmal ein kleines Tippchen geben könntest...

Verwenden darf ich im Prinzip alles würde ich sagen...

06.12.2010, 17:32

system-agent

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von Jojoe
Also, dass die Folge monoton wachsend ist, habe ich jetzt (hoffentlich richtig) mit vollständiger Induktion gezeigt! - das geht doch mit vollst. Induktion, oder?

Ja, das kann man so tun.

Zitat:

Original von Jojoe
Aber wie kann ich denn jetzt zeigen, dass sie nicht beschränkt ist...?

Angenommen es gibt ein $\begin{eqnarray*} M\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} \frac{b^n}{a^n}\leq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Wieso ist das ein Widerspruch?

06.12.2010, 17:46

Jojoe

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RE: Konvergenz
hm... ich würde ja sagen, weil man für n unendlich viele Werte einsetzen kann (wobei: die natürlichen Zahlen sind doch beschränkt, oder?! - oder hat das damit nichts zu tun?)
und somit jedenfalls unendlich viele Werte für b^n/a^n erhalten könnte...

hm... ich weiß nicht, so richtig überzeug ich mich damit nicht... ich komm nicht wirklich dahinter... verwirrt

Noch eine Frage: Warum musste ich eigentlich zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist? Hätte es nicht gereicht, nur zu zeigen, dass die Folge nicht beschränkt ist?

06.12.2010, 17:56

Jojoe

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RE: Konvergenz
Hm, also ich würde ja noch behaupten:
Da a und b zwischen 0 und 1 liegen, gehen a^n und b^n (mit n gegen unendlich) beide gegen 0.
Aber da a kleiner ist als b, geht a^n noch schneller gegen 0 als b - und Division durch 0 geht nicht....

aber vermutlich kann man das gar nicht so betrachten, dass das eine "schneller gegen 0 geht", oder?

Ich hab wahrscheinlich nur wirre Ideen hier...
es wär toll, wenn du mir nochmal helfen könntest! Hammer

07.12.2010, 08:00

system-agent

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von Jojoe
wobei: die natürlichen Zahlen sind doch beschränkt, oder?!

Nein.

$\begin{eqnarray*} \frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n. \end{eqnarray*}$
Nun ist aber $\begin{eqnarray*} b>a \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}\geq ? \end{eqnarray*}$ .

Ja, vielleicht hätte die Unbeschränktheit gereicht.

07.12.2010, 21:15

Jojoe

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RE: Konvergenz
Okay, vielen Dank!!

b/a ist dann größer als 1.

und somit geht (b/a)^n gegen unendlich.

Damit ist die Folge bestimmt divergent.

Oder?

07.12.2010, 22:58

system-agent

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Ja.

07.12.2010, 23:02

Jojoe

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Großen herzlichen Dank!! smile

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Konvergenz

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