Beweis eines einfachen Grenzwertes

05.12.2010, 22:17

refle

Beweis eines einfachen Grenzwertes

Meine Frage:
Wie kann ich diesen Grenzwert mit einer Epsilon-Umgebung beweisen:
$\begin{eqnarray*} | c^n \cdot a - 0 | \end{eqnarray*}$

c<1, a>0

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} | c^n \cdot a - 0 | < {\epsilon \over a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^n < \epsilon \end{eqnarray*}$

06.12.2010, 09:11

klarsoweit

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RE: Beweis eines einfachen Grenzwertes

Zitat:

Original von refle
$\begin{eqnarray*} | c^n \cdot a - 0 | < {\epsilon \over a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^n < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wie bist du jetzt auf dieses gekommen?

07.12.2010, 21:26

refle

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RE: Beweis eines einfachen Grenzwertes
war halt ein versuch von mir. ich mein dass c^n < epsilon für n --> unendlich ist ja klar....

07.12.2010, 22:11

klarsoweit

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RE: Beweis eines einfachen Grenzwertes
Wieso sollte das klar sein? Genau dies zu zeigen, ist ja der Witz an der ganzen Sache.

07.12.2010, 22:18

refle

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RE: Beweis eines einfachen Grenzwertes
und wie funktioniert das jetzt exakt? das ist ja meine frage

10.12.2010, 21:37

refle

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RE: Beweis eines einfachen Grenzwertes
keiner ne ideeeee?

11.12.2010, 09:00

system-agent

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Zu zeigen, dass man $\begin{eqnarray*} c^n \end{eqnarray*}$ beliebig klein machen kann für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nur gross genug kann man auch genausogut zeigen, dass man $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{c}\right)^n \end{eqnarray*}$ beliebig gross machen kann für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gross.

Sei also $\begin{eqnarray*} K>0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig. Jetzt musst du zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt derart, dass $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{c}\right)^n>K \end{eqnarray*}$ gilt.

Beachte dazu, dass $\begin{eqnarray*} b:=\frac{1}{c}>1 \end{eqnarray*}$ gilt. Definiere $\begin{eqnarray*} x:=b-1 \end{eqnarray*}$ und frage mal bei Herrn Bernoulli nach ob der eine passende Ungleichung kennt.
Dann brauchst du noch das Archimedische Axiom.

11.12.2010, 13:06

refle

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$\begin{eqnarray*} |c^n \cdot a|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Reicht z.z.: $\begin{eqnarray*} c^n \Rightarrow 0 , n \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

also auch: $\begin{eqnarray*} ({1 \over c})^n \Rightarrow \infty , n \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall n : n>N : ({1 \over c})^n > K \end{eqnarray*}$

Sei b := 1/c, dann: b^n > K
Sei b := x+1, dann: (1+x)^n > K
Bernoulli: $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq (1+xn) \end{eqnarray*}$

dann gilt aber doch: $\begin{eqnarray*} K < (1+x)^n \geq (1+xn) \end{eqnarray*}$

was hilft mir das jetzt?

11.12.2010, 14:05

system-agent

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Zitat:

Original von refle
dann gilt aber doch: $\begin{eqnarray*} K < (1+x)^n \geq (1+xn) \end{eqnarray*}$

was hilft mir das jetzt?

Das frage ich mich genauso was dir diese falsche Zeile helfen soll.

Nochmals: Das $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist irgendwie vorgegeben, also fest. Mit deiner richtigen Umformung
$\begin{eqnarray*} b^n=(1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray*}$ sollst du nun argumentieren wieso man $\begin{eqnarray*} b^n>K \end{eqnarray*}$ erreichen kann, wenn man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nur genügend gross wählt.

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