Konvergenz, Wurzelkriterium

06.12.2010, 09:32

Hille20

Konvergenz, Wurzelkriterium

Meine Frage:
Ich soll mittels des Wurzelkriteriums beweisen, dass die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty x^{n}/n! \end{eqnarray*}$ absolut konvergent ist. Dabei darf ich nutzen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | y_{n} | /n!=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei absoluter Konvergenz muss ich ja beweisen, dass Bedingung 1:
$\begin{eqnarray*} \lim sup_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{|x^{n}| }{n!} } \leq C \end{eqnarray*}$ , wobei C<1.

Jetzt ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{|x^{n}| }{n!} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt[n]{n!} } \end{eqnarray*}$

Der Zähler ist somit eine konstante und der Nenner für sich konvergiert gegen unendlich. Damit konvergiert der gesamte Term gegen 0.

Das bedeutet, dass die oben genannte Bedingung 1 für fast alle n erfüllt ist (je nachdem wie x gewählt wird). Es gibt also nur eine endlich große Menge an n, für die die Bedingung 1 nicht erfüllt wird und damit ist die Reihe absolut konvergent.

Kann ich diesen Beweis so führen, oder habe ich noch etwas vergessen?
Ich bin mir irgendwie nicht sicher, ob das so korrekt ist, da ich dieses Kriterium das erste mal anwende.

Bitte um Hilfe.

06.12.2010, 09:37

klarsoweit

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RE: Konvergenz, Wurzelkriterium

Zitat:

Original von Hille20
Der Zähler ist somit eine konstante und der Nenner für sich konvergiert gegen unendlich.

Was aber noch zu zeigen wäre.

Mit dem Quotientenkriterium wäre es einfacher, aber du mußt es ja unbedingt mit dem Wurzelkriterium machen.

06.12.2010, 10:12

Hille20

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Ja, ich muss das leider mit dem Wurzelkriterium machen. :-)

Das der Zähler eine konstante ist, ist ja offentsichtlich oder sehe ich das falsch?

Und der $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!} = \infty \end{eqnarray*}$ .

1. Frage: Ist das was ich bis jetzt im gesamten aufgeschrieben habe korrekt?
2. Frage: Was soll ich denn jetzt noch weiter beweisen?
3. Frage: Wenn es noch etwas zu beweisen gibt: wie?

06.12.2010, 10:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Hille20
Das der Zähler eine konstante ist, ist ja offentsichtlich

Das ist richtig, wobei es exakt |x| heißen muß.

Zitat:

Original von Hille20
Und der $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!} = \infty \end{eqnarray*}$ .

Genau dieses ist noch zu zeigen. Vielleicht habt ihr das in igrendeiner anderen Aufgabe schon mal gemacht.

06.12.2010, 10:40

Hille20

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So, ich glaube ich komm jetzt grad an meine mathematischen Grenzen.

Wie soll ich das den beweisen? So eine Aufgabe habe ich noch nicht bewiesen.

Wie kann ich denn einen Term mit einer Fakultät umformen?

06.12.2010, 10:49

Manni Feinbein

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Hier: matheboard.de/thread.php?postid=1270343

solltest Du einen Ansatz finden.

09.12.2010, 13:32

Nancy

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kurze anmerkung:
man darf benutzen, dass lim_n->oo (|y_n^n|/n! )=0

das heißt, man muss nicht viel machen..n!>0 => |x^n/n!|=|x^n|/n! ->0 =>
n-te Wurzel(|x^n|/n!) -> 0

fertig, oder seh ich das falsch??

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