Logarithmische Differentiation

06.12.2010, 09:35	Lars_	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmische Differentiation Hallo! ich benötige für die Fehlerrechnung den relativen Fehler einer Größe $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^2\cdot y^{-4} \end{eqnarray}$ Wir hatten mal, dass man das am schnellsten über Logarithmische Differentiation berechnet. Also setze ich: $\begin{eqnarray} \ln(f)=\ln(x^2\cdot y^{-4})=2\cdot \ln x -4 \cdot\ln y \end{eqnarray}$ . Nun soll man das totale Differnzial bilden. Das ist ja auf der rechten Seite: $\begin{eqnarray} 2\cdot \frac{dx}{x} -4\cdot \frac{dy}y \end{eqnarray}$ Nur wie kommt man auf der Linken Seite auf $\begin{eqnarray} \frac {df}f \end{eqnarray}$
06.12.2010, 12:33	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ , die von zwei Messgrößen x,y abhängt, welche kleinen Fehlern $\begin{eqnarray} \Delta x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Delta y \end{eqnarray}$ unterliegen. Um zu wissen, welchen Einfluss diese Fehler auf die Funktion f haben, entwickelt man die Funktion $\begin{eqnarray} f(x+\Delta x, y+\Delta y) \end{eqnarray}$ in einer Taylorreihe bis zur 1.Ordnung (in der Nähe der "wahren" Werte x,y). $\begin{eqnarray} f(x+\Delta x, y+\Delta y)=f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+... \end{eqnarray}$ Um den Fehler $\begin{eqnarray} \Delta f \end{eqnarray}$ zu bekommen, subtrahieren wir auf beiden Seiten den "wahren" Wert f(x,y) und erhalten $\begin{eqnarray} \underbrace{f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)}_{\Delta f}=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y \end{eqnarray}$ Um den relativen Fehler $\begin{eqnarray} \frac{\Delta f}{f} \end{eqnarray}$ zu bekommen, dividieren wir dies durch f und erhalten $\begin{eqnarray} \frac{\Delta f}{f}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{f}\Delta x+\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{f}\Delta y \end{eqnarray}$ In deinem Falle ist $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{x^2}{y^4} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{y^4} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{4x^2}{y^5} \end{eqnarray}$ Einsetzen dieser Formeln liefert $\begin{eqnarray} \frac{\Delta f}{f}=\frac{2}{x}\Delta x-\frac{4}{y}\Delta y \end{eqnarray}$ Die gesamte "Fehlerrechnung" beruht auf der Taylorentwicklung der Funktion f(...) bis zur 1.Ordnung.

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