Standrdabweichung |
| 06.12.2010, 11:12 | qwertzu | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Standrdabweichung kann mir jemand erklären, warum man bei der Standardabweichung in der Wurzel durch n-1 und nicht durch n dividiert? |
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| 06.12.2010, 11:21 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Standrdabweichung Varianz (Beachte auch weiter unten im Artikel die Bemerkung zur Standardabweichung.) |
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| 06.12.2010, 13:04 | qwertzu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe mir den Artikel durchgelesen, leider nur nicht alles verstanden. Hast du für die 1 vlt. eine nicht ganz so wissenschaftliche Erklärung parat? |
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| 06.12.2010, 15:33 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
Machen wir ein kleines Beispiel: w={1,2,3,4,5} bilde die Grundgesamtheit eines Zufallsexperiments. Es lässt sich leicht «von Hand» nachrechnen, dass der w-Erwartungswert E = 3 und die w-Varianz Var = 2 ist (hier gerechnet mit Nenner n=5). Zieht man eine Stichprobe vom Umfang 3, z.B. [2,2,4], dann wäre der Stichproben-Mittelwert 8/3=2.66.. und die Stichproben-Varianz 8/9=0.88..(hier gerechnet mit Nenner n=3). Dass der Erwartungwert von w, nämlich 3, durch 2.66.. verfehlt wird, muss als reiner Zufall akzeptiert werden. Mit 2.66.. hat man eine Schätzung des w-Erwartungswertes (und zwar die beste, die man aus der Stichprobe gewinnen kann). Dass die Varianz von w, nämlich 2, verfehlt wird, hat zwar teilweise mit der Zufälligkeit der Stichprobe zu tun, beruht aber auch auf einem systematischen Fehler. Die Stichproben-Varianz 8/9 wurde nämlich nicht anhand des w-Erwartungswertes berechnet (der galt ja als unbekannt), sondern anhand des Stichproben-Mittelwertes und dieser verfälscht die Schätzung tendenziell nach unten, weil er naturgemäss meist «zentraler» in der Stichprobe liegt als E, sodass die Abweichungsquadrate im Mittel zu klein werden. Will man die Stichproben-Varianz als Schätzung für die w-Varianz verwenden, dann muss sie um den systematischen Fehler «korrigiert» werden. Eine nicht ganz kurze Rechnung zeigt, dass der nötige Korrekturfaktor sein muss, im Beispiel also 3/2, sodass eine «korrigierte Stichprobenvarianz» 3/2*8/9 = 4/3 resultiert. (4/3 bekommt man direkt, wenn in der Formel der Nenner n-1=2 verwendet wird). Man verfehlt die «wahre» Varianz 2 immer noch, aber das beruht nun nur auf der speziellen Stichprobe und der Fehler würde sich bei sehr vielen immer besser ausmitteln. Man sagt, die (mit Nenner n-1) «korrigierte Stichprobenvarianz» sei erwartungstreu, d.h. sie schätzt die w-Varianz ohne einen systematischen, nur noch mit einem zufälligen Fehler. |
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| 06.12.2010, 17:42 | qwertzu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke das war schon verständlicher. Nur woher genau kommt dieser systematische Fehler, also dass der Mittelwert meist "zentraler" liegt, als der Erwartungswert? |
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| 06.12.2010, 18:03 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Stichproben-Mittelwert heisst so, weil er in der «Mitte» der Stichprobe (nicht der Grundgesamtheit) liegt. Bei jeder Stichprobe, bei der er nicht zufällig den Erwartungswert trifft, liegt er offensichtlich besser «in der Mitte», als jener. (Die Summe der Abweichungsquadrate wird bekanntlich minimal, wenn man sie auf den Mittelwert bezieht.) |
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