e-funktion Quotientenregel |
06.12.2010, 15:26 | TeddyBaer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
e-funktion Quotientenregel Die folgende Funktion soll abgeleitet werden: f(x) = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x) Meine Ideen: Mein Ansatz: Quotientenregel f'(x) = (-e^x - e^x)*(e^-x + e^x) - (e^-x - e^x)* (-e^x + e^x) / (e^x + e^-x)² Wie fasse ich das nun zusammen? -(e^x)² - (e^x)² ... ?? ich komme leider nicht weiter. |
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06.12.2010, 15:28 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: e-funktion Quotientenregel Dein Ansatz ist korrekt nur has tdu glaube ich falsch abgeleitet. Das wird zu: Das könnte man nochmals vereinfachen indem man den Bruch in eine Differenz zerlegt. |
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06.12.2010, 15:41 | TeddyBaer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dankeschön habe meinen Fehler erkannt. Nun bekomme ich als Endergebnis heraus: f'(x)= 1 - (e^x - e^-x)² / (e^x + e^-x)² ist das so richtig? |
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06.12.2010, 15:44 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
JA, jetzt stimmts. |
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06.12.2010, 15:49 | TeddyBaer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nun muss ich die zweite Ableitung bilden. die 1 fällt weg und nur der 2. Teil des Terms muss abgeleitet werden. -> Quotientenregel. wie leitet man denn (e^x - e^-x)² bzw. (e^x + e^-x)² ab? ist das dann: 2* (e^x + e^-x) bzw. 2* (e^x - e^-x) ? |
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06.12.2010, 15:51 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Ausdrücke leitet man per Kettenregel, ist die im Unterricht schon behandelt worden, falls nicht kann man es auch per Produktregel ableiten. Im Endeffekt erhält man das gleiche Ergebnis, doch deins ist keinesfalls korrekt. ( |
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06.12.2010, 15:57 | TeddyBaer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe versucht die Kettenregel anzuwenden (für die Produktregel müsste man ja erst das Binom auflösen). f(x) = (e^x - e^-x)² f'(x) = 2* (e^x - e^-x) * (e^x + e^-x) ist das so ok? Sorry, aber ich mir mir da relativ unsicher. |
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06.12.2010, 15:59 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das stimmt jetzt. Du hättest das Binom nicht auflösen müssen, sondern einfach Differenzieren von Nun musst du nur noch den Nenner ableiten und alles einsetzen und du hast die 2. ABleitung. |
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06.12.2010, 16:21 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: e-funktion Quotientenregel
ganz am Schluss, wenn du alles sorgfältig und mit Anleitung von baphomet gerechnet hast, könntest du dir noch einen kleinen Ausblick in eine Formelsammlung gönnen.. dort wirst du deine Funktion unter dem Stichwort "hyperbolische Funktionen" wiederfinden als f(x)= tanh(x) und die zugehörende Ableitung ist dann verzeichnet als f'(x) = (tanh x)' = 1 - [tanh(x)]² = 1 / [cosh(x)]² = [cosh(x)]^(-2) und so kannst du dann auch leicht durch Ableiten wiederum überprüfen, ob du die zweite Ableitung nun richtig gerechnet hast es wird sein: f"(x) = ... . |
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10.01.2011, 19:46 | Adamklein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und wie ist nun die zweite ableitung? ich muss doch da quotienten- und kettenregel anwenden oder? |
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10.01.2011, 19:49 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann die Quotientenregel anwenden, Corvus zeigte einen einfacheren Weg, nämlich Formelsammlung schauen und sehen das es eine Hyperbolische Funktion ist. Es handelt sich um den Tangens Hyperbolicus. Die nötigen zwei Ableitungen entnimmt man wiederrum der Formelsammlung oder berechnet diese auf klassischem Wege. |
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10.01.2011, 20:18 | Adamklein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dass es der tangens hyperbolicus ist, hab ich festgestellt. die erste ableitung hab ich auch so hinbekommen und mit denen im internet verglichen. wie hier oben. allerdings kann ich keine formelsammlung finden mit der 2. ableitung. kannst du mir da bitte weiterhelfen? |
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10.01.2011, 20:57 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt per Kettenregel ableiten: |
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10.01.2011, 21:29 | Adamklein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok vielen dank. ist dieser rechenweg dann so richtig: Kettenregel: f(x)= g(h(x)) f(x)= ² g(x)=tanh(x) f '(x)=h'(x)*g'(h(x)) =2(-tanh(x))*(1-(-tanh²(x)) = -2tanh(x)*(1+tanh²(x) und die dritte ist dann mit produktregel? f'''(x)= -2(1-tanh(x))(1+tangh²(x)) + (-2(tanh(x))(-2(tanh(x))(1+tanh²(x)))) |
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10.01.2011, 21:35 | Adamklein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich muss damit eine kurvendiskussion durchführen. ich weiß wie die funktion aussieht und nullstellen hab ich auch schon berechnet. wenn ich jetzt mit diesen ableitungen rechnen möchte, muss ich dann für jedes tanh(x) die e-funktion einsetzen und dann immer den ganzen bruch quadrieren, wenn tanh²(x) steht? |
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10.01.2011, 21:44 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich gebe dir Morgen die Hilfe zur Berechnung der dritten Ableitung, sag Bescheid wann du Morgen hier bist. Der Tangens Hyperbolicus ist als Quotient von Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus definiert, wenn er also quadriert wird, wird der gesamte Bruch(Zähler und Nenner quadriert). |
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10.01.2011, 21:51 | Adamklein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
na morgen muss ichs abgeben... egal, trotzdem vielen dank für deine hilfe |
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10.01.2011, 23:49 | Adamklein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab jetzt alles zusammengefasst nachdem ich die 2. ableitung ausmultipliziert hatte und dann mit pordukt und kettenregel abgeleitet habe: f'''(x)= -2+4tanh²(x)+6tanh^4(x) stimmt das so? bin morgen um 6 hier wahrscheinlich danke schonmal |
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11.01.2011, 00:28 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um die dritte Ableitung zu berechnen benötigt man entweder die Produktregel die du angewendet hast oder multipliziert einfach aus und wendet die Summenregel und Kettenregel an. Nun lässt sich die Ableitung deutlich einfacher und schneller berechnen. Das ganze kann man noch zusammenfassen. Für Extrempunkte benötigen wir die erste Ableitung, also diese Null setzen und lösen. Die zweite Ableitung benötigen wir um die Art des Extremus festzustellen und um Wendepunkte zu bestimmen. Letzteres geht wie folgt: Jetzt benutzen wir Substitution z=tanh(x) und es entsteht folgende kubische Gleichung die zu lösen ist. Rücksubsitution nicht vergessen!!! Danach 3. Ableitung benutzen. |
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11.01.2011, 17:58 | Adamklein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
super!!! vielen lieben dank! hast mir sehr geholfen. ich hatte die dritte ableitung ja fast richtig... |
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11.01.2011, 18:00 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hoffe kam noch rechtzeitig |
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