Aufgaben mit symmetrischen Matrizen

06.12.2010, 15:27

Martin L

Aufgaben mit symmetrischen Matrizen

Zuerst mal die uns an die Hand gegebene Definition für symmetrische Matrizen (hatten wir nämlich nicht in der Vorlesung, steht nur über der Übung):

Seien K ein Körper und n eine natürliche Zahl. eine n x n Matrix A = (a_(ij))i,j über K heißt symmetrisch, falls a_(ij) = a_(ji) für alle i,j. Sei Sym_n(K) die Menge der symmetrischen n x n Matrizen über K.
Wir betrachten im folgenden M_(n x n)(K) in der üblichen Weise als Vektorraum über K.

Soweit ist mir auch noch alles klar. Jetzt sollen wir in Aufgabe a) zeigen, dass Sym_n(K) ein Untervektorraum von M_(n x n)(K) ist und die Dimension von Sym_n bestimmen.

----ANSATZ:
Ich habe mir das mit der Basis zunächst für eine 3 x 3 Matrix mal überlegt. Da komm ich auf die Dimension 6. Für 2 x 2 Matrixen komme ich auf die Dimension 3. Da weiß ich aber nicht wie ich die Dimension allgemein bestimmen soll.

Das mit dem Untervektorraum krieg ich denk ich hin, da muss man ja nur die Bedingungen durchgehen. Leer ist er schon mal nicht, da eine nur mit Nullen gefüllte Matrix wohl immer symmetrisch ist. Auch skalarmultiplikation und addition ändern nichts an der Symmetrie.

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Jetzt aber zu dem Aufgabenteil den ich noch nicht sooo richtig nachvollziehen kann:

Von nun an nehmen wir an, dass $\begin{eqnarray*} 1 + 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ in K. Eine n x n Matrix $\begin{eqnarray*} A = (a_{ij})_{i,j} \end{eqnarray*}$ über K heißt schiefsymmetrisch oder alternierend, falls $\begin{eqnarray*} a_{ij} = -a_{ji} \end{eqnarray*}$ für alle i,j. Sei Alt_n(K) die Menge der alternierenden n x n Matrizen über K.

Soweit komme ich noch mit, also verstanden was ich da vormir habe habe ich.

Zuerst mal wieder zeigen, dass Alt_n(K) ein Untervektorraum von M_(nxn)(K) ist und die Dimension bestimmen. Bei der Dimension hab ich das selbe Problem wie oben.

Aber was ich nicht so ganz verstehe ist folgendes:

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} M_{n x n}(K) = Sym_n(K) \oplus Alt_n(K) \end{eqnarray*}$

Meinen die da jetzt die direkte Summe? Oder ist das einfach unser im Körper definiertes + mit $\begin{eqnarray*} 1 +1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ ? Ich denke mal die direkte Summe, da das andere irgendwie kaum Sinn macht (ich frage mich dann aber wofür man dieses $\begin{eqnarray*} 1+1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ dann überhaupt braucht.

Wenn die direkte Summe gemeint ist, dann müsste man doch nur die beiden Basen von oben nehmen, welche ich ja hooooffeeeentlich mit eurer Hilfe hinbekomme, dann gucken wie viele elemente Linear unabhängig sind und dann gucken, ob die die selbe Dimension wie die n x n Matrizen über K haben. Oder?

Ich hoffe jemand kann mal ein zwei ordnende Sätze dazu schreiben um einen Schubs in die richtige Richtung zu geben :-).

Danke sehr,
Gruß
Martin

06.12.2010, 15:34

Mazze

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Zitat:

Meinen die da jetzt die direkte Summe?

Ja, jede Matrix über einem Körper, in dem 1 + 1 != 0 gilt, lässt sich als Summe von einer Schiefsymmetrischen und einer Symmetrischen Matrix schreiben. Sei A eine Matrix, schau Dir mal diese beiden Matrizen an

$\begin{eqnarray*} B = A + A^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C = A - A^T \end{eqnarray*}$

was stellst Du fest ? Und wo kommt die Bedingung 1 + 1 != 0 ins Spiel?

Zur Dimension :

Hast Du dir mal Basen für die einzelnen Räume zusammengebaut? Mach das mal für 3x3 Matrizen! (Dimension 6 für symmetrische 3x3 ist richtig!). Denk dabei imjmer daran, viele Nullen, wenig einsen für die Basis!

07.12.2010, 00:07

Martin L

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Also das mit dem Addieren und Subtrahieren der Matrizen hab ich irgendwie noch nicht so ganz verstanden. Müssen das spezielle Matrizen sein damit einem der Fall wo 1 + 1 = 0 was schlimmes macht ins Auge springt?

Aber ne Basis für die 3 x 3 Matrizen müsste doch die Dimension 9 haben und für die 2 x 2 Matrizen die Dimension 4.

ahhhh ich glaub ich krieg ne Idee bzw zumindest nen Zusammenhang. Man spart sich ja ne Menge Basiselemente, weil man ja in einer symmetrischen Matrix sozusagen nur die Diagonale braucht, die kann sich ja beliebig zusammensetzen und dann halt eine Hälfte.

Wäre dann für symmetrische n x n Matrizen

n + n-1 + n-2 + n-3 ...... + n-n

Das könnte man ja schön als Summe schreiben und fertig aaaber wie beweist man das?

Gruß
Martin

07.12.2010, 09:39

Mazze

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Zitat:

Wie gesagt, schau Dir zunächst mal die Matrizen B und C an , die ich oben definiert habe.

Zitat:

Man spart sich ja ne Menge Basiselemente, weil man ja in einer symmetrischen Matrix sozusagen nur die Diagonale braucht, die kann sich ja beliebig zusammensetzen und dann halt eine Hälfte.

Das kann man besser Formulieren. Für die Diagonalelemente brauchen wir n Basisvektoren, das siehst Du richtig. Bei einer N x N Matrix haben wir N² Matrixeinträge, ziehen wir davon N ab , erhalten wir die Anzahl der Nichtdiagonalelemente. Also N² - N. Wie Du richtig sagst, brauchen wir davon aber nur die Hälfte daher wäre die Anzahl der BAsisvektoren für N im symmetrischen Fall also

$\begin{eqnarray*} N + \frac{N² - N}{2} \end{eqnarray*}$

Du kannst dir selbst überlegen, warum N² - N stets eine gerade Zahl ist Augenzwinkern

. Für Schiefsymmetrische Matrizen kannst Du genauso argumentieren.

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