Hilfe bei Textaufgabe (Rinne)

18.11.2006, 19:03

El_Snyder

Hilfe bei Textaufgabe (Rinne)

eine rinne wird aus drei 15cm (= a) breiten holzbrettern der länge 8m (= d) gefertigt. Berechnen Sie den Winkel x (= der winkel, den das bodenbrett mit der seitenwand einschließt), für den das volumen der rinne maximal wird. (skizze im anhang).
das "dach" der rinne, also die dritte seite des trapezes, nenn ich mal c.

so, jetzt hab ich mir folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} c = a + 2p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p = a \cdot \cos(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{360-2x}{2} \end{eqnarray*}$ (winkelsumme = 360)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c = a + 2[a \cdot \cos(\frac{360-2x}{2})] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = a \cdot \sin(y) = a \cdot \sin(\frac{360-2x}{2}) \end{eqnarray*}$

flächenformel für trapeze:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} (a + c) \cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{2} \cdot [2a + 2[a \cdot \cos(\frac{360-2x}{2})]] \cdot [a \cdot \sin(\frac{360-2x}{2})] \end{eqnarray*}$

so, das ganze jetzt mit d multipliziert und man hat das volumen der rinne, abhängig vom winkel x, also:

$\begin{eqnarray*} V(x) = \frac{2a + 2[a \cdot \cos(\frac{360-2x}{2})] \cdot [a \cdot \sin(\frac{360-2x}{2})]}{2} \cdot d \end{eqnarray*}$

ist das bis dahin so richtig? dann müsste ich jetzt "nur" noch die ableitung davon gleich null setzen etc..

EDIT: skizze smile

18.11.2006, 19:24

20_Cent

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sieht richtig aus, ich finde jedenfalls keinen fehler.
mfG 20

18.11.2006, 19:28

mYthos

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Die Ableitung ist kein Problem, wenn du a und d ausklammerst und weglässt (Vereinfachung der Ansatzfunktion bei konstantem Faktor).

Wenn du noch die Formel sin(2x) = 2.sin(x).cos(x) anwendest, wirds besonders einfach, den Winkel x kann man direkt "riechen" ....

mY+

18.11.2006, 19:39

El_Snyder

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danke!!

mYthos: d kann ich weglassen, aber a möchte ich gerne beibehalten, damit man später dort auch variieren kann. sin(2x) = 2.sin(x).cos(x) verstehe ich nicht so ganz. ich hab mir überlegt, dass (denke ich zumindest)

$\begin{eqnarray*} \cos(\frac{360-2x}{2}) = sin(\frac{360-2x+\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

18.11.2006, 20:00

mYthos

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RE: Hilfe bei Textaufgabe (Rinne)
Du darfst NUR beim Nullsetzen der Ableitung die konstanten Faktoren a, d weglassen! Übrigens: Ein a bleibt ja noch drinnen ... . Danach (beim Einsetzen in die Nebenbedingung und bei der Berechnung der weiteren Größen) MÜSSEN a und d wieder "mitgenommen" werden.

Setze:

$\begin{eqnarray*} 2sin(\frac{360 - 2x}{2})cos(\frac{360 - 2x}{2}) = sin(360 - 2x) \end{eqnarray*}$

[Extr.wert: x = 135°]

18.11.2006, 21:53

El_Snyder

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hm, ich komm irgendwie nicht richtig weiter ^^

$\begin{eqnarray*} V(x) = \frac{2a + 2[a \cdot \cos(\frac{360-2x}{2})] \cdot [a \cdot \sin(\frac{360-2x}{2})]}{2} \cdot d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(x) = \frac{ad \cdot [2 + a \cdot \sin(360-2x) ]}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V'(x) = \frac{ad \cdot [-2a \cdot \cos(360-2x)]}{2} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

18.11.2006, 22:06

mYthos

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Schaut gut aus!

Nun alles, was nicht niet- und nagelfest ist, faktorisieren.
Was wird zu Null?
Ev. (360 - 2x) = z setzen (muss aber nicht sein, man sieht's so auch)
...

mY+

18.11.2006, 22:25

El_Snyder

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okay, jetzt hab ich:

$\begin{eqnarray*} 0 = -2a \cdot \cos(360-2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 90 = -2a \cdot (360-2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{90}{-2a} = 360-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{90}{-2a} - 360 = -2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 22\frac{1}{2}a + 180 \end{eqnarray*}$

und das kann ja irgendwie nicht sein verwirrt

18.11.2006, 23:04

mYthos

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Hoppla!

Die 1. Zeile stimmt noch! Aber dann! Der Faktor a steht ja gar nicht unterm Cosinus! Daher ist zuerst durch a (und dann auch gleich durch 2) zu dividieren!
...

$\begin{eqnarray*} 0 = cos(360-2x) \end{eqnarray*}$

wie wär's damit?

mY+

18.11.2006, 23:10

El_Snyder

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achso.. das würde bedeuten, dass die fläche von einem trapez (bei dem drei seiten gleich lang sind) IMMER bei diesem innenwinkel x, unabhängig von der kantenlänge a, maximal ist?!

dann hätte ich also letztendlich:

$\begin{eqnarray*} 0 = \cos(360-2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 90 = 360 - 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = 135 \end{eqnarray*}$

das volumen der rinne wird bei einem winkel x von 135° maximal.

18.11.2006, 23:24

mYthos

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Bingo! Geschafft!

Eventuell musst du noch mittels der 2. Ableitung die Art des Extremums zeigen (Vorzeichen entscheidet über Max/Min)

mY+

19.11.2006, 00:54

El_Snyder

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super, danke! smile

$\begin{eqnarray*} V''(x) = \frac{ad \cdot [-4a \cdot \sin(360-2x)]}{2} \end{eqnarray*}$

für x = 135 ist der funktionswert bei positiven a und d negativ, d.h. es liegt ein maximum vor smile

vielen dank!!

06.12.2006, 01:07

mYthos

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RE: Hilfe bei Textaufgabe (Rinne)

Zitat:

Original von El_Snyder
...
so, das ganze jetzt mit d multipliziert und man hat das volumen der rinne, abhängig vom winkel x, also:

$\begin{eqnarray*} V(x) = \frac{2a + 2[a \cdot \cos(\frac{360-2x}{2})] \cdot [a \cdot \sin(\frac{360-2x}{2})]}{2} \cdot d \end{eqnarray*}$

[b]ist das bis dahin so richtig?
...

Nein!
Leider ist ganz zu Anfang ein letaler Fehler übersehen worden, sodass die weitere Rechnung zwar dem Sinne nach stimmt, aber natürlich nicht das richtige Ergebnis liefert.

Richtig ist

$\begin{eqnarray*} V(x) = \frac{[2a + 2(a \cdot \cos(\frac{360-2x}{2}))] \cdot [a \cdot \sin(\frac{360-2x}{2})]}{2} \cdot d \end{eqnarray*}$

d.h. es fehlt eine wichtige Klammer, sodass mit dem 2a vorne mitmultipliziert wird.

Ausserdem ergibt sich das maximale Volumen bereits dann, wenn die Querschnittsfläche A maximal ist. Somit ist nur A zu maximieren.

Weiters ist der Übergang auf $\begin{eqnarray*} sin(180 - \alpha) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} cos(180 - alpha) \end{eqnarray*}$ in der Folge nicht nötig! Denn es gilt:

$\begin{eqnarray*} sin(180 - \alpha) = sin(\alpha) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(180 - \alpha) = -cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

Das richtige Ergebnis für den Winkel lautet 120°

mY+

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