aus Konvergenz folgern..

06.12.2010, 16:43

eyohh

aus Konvergenz folgern..

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe hier ein Probem mit dieser Aufgabe:
wenn $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt{a_{n} a_{n+1} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n+1} } \right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ja, jetzt sitze ich irgendwie davor und weiß nicht, wie ich da anfangen kann... bei anderen Beispielaufgaben dachte ich, ich hätte es halbwegs nachvollziehen können... aber die waren irgendwie anders...
ja, also mal allgemein: Man kann das ja manchmal mit Majoranten-/Minorantenkriterium zeigen, mit Wurzelkriterium, Quotientenkriterium usw. ...
aber ich weiß absolut keinen Anfang...
ich weiß, ich sollte hier eigentlich bessere Ideen posten, aber ich hab keine...
vielleicht kann mir irgendwer zumindest einen Starthinweis geben? Das wäre super.. denn ich komme gerad gar nicht weiter...
Vielen Dank schonmal!

06.12.2010, 16:48

René Gruber

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RE: aus Konvergenz folgern..
Vielleicht solltest du noch die Voraussetzung erwähnen, dass sämtliche $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ positiv sind. Zumindest nehme ich an, dass diese Voraussetzung hier besteht, oder etwa nicht? verwirrt

Zur Lösung: Offenbar ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} (a_n+a_{n+1}) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{k=2}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$

konvergent. Der Rest folgt per Majorantenkriterium unter Bezugnahme auf AMGM (Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel) bei der ersten Aufgabe sowie AMHM (Ungleichung zwischen arithmetischen und harmonischen Mittel) bei der zweiten Aufgabe.

06.12.2010, 17:21

eyohh

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RE: aus Konvergenz folgern..
Hallo!
danke erstmal für die Antwort!
Ja, richtig, sorry, die Voraussetzung hatte ich vergessen zu erwähnen....

nagut, das muss ich mir jetzt erstmal eben angucken!

06.12.2010, 18:23

eyohh

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RE: aus Konvergenz folgern..
OKay, vielen Dank erstmal!

..ich komme allerdings trotzdem noch nicht wirklich zurecht...
also ich habe jetzt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt{a_{n} a_{n+1} } \end{eqnarray*}$ umgeformt in:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(a_{n} a_{n+1} \right)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ Das schien mir irgendwie mehr der Sache zu ähneln, die bei AMGM steht.....

Also für AMGM hab ich gefunden:
Für n positive reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i\geq (\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ . Gleichheit gilt genau dann, wenn x1 = x2 = ... = xn ist.

Wenn ich das jetzt versuche auf meine Aufgabe zu übertragen, kriege ich das nicht wirklich hin...

Könnte ich jetzt schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{k=2}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \prod_{n=1}^{\infty }a_n + \prod_{n=2}^{\infty }a_k \end{eqnarray*}$

Aber was fange ich dann damit an...?

06.12.2010, 18:41

eyohh

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RE: aus Konvergenz folgern..
OKay, geht's vielleicht so?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(a_{n} a_{n+1} \right)^{\frac{1}{2} } \geq \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^{\infty }(a_{n} a_{n+1})^{\frac{1}{2} } = \prod_{n=1}^{\infty } ((a_{n})^{\frac{1}{2} } (a_{n+1})^{\frac{1}{2} } ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \prod_{n=1}^{\infty } (a_{n})^{\frac{1}{2} } + \prod_{n=1}^{\infty }(a_{n+1})^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

und das ist wiederum kleiner als
$\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^{\infty }a_n + \prod_{n=2}^{\infty }a_k \end{eqnarray*}$

06.12.2010, 18:46

eyohh

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RE: aus Konvergenz folgern..
hm... oh mann, ich glaub jetzt hab ich mich verrannt... und nicht das gezeigt, was ich zeigen wollte! geschockt

06.12.2010, 19:42

René Gruber

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Dass man aber auch so missverstanden werden kann: Nach meinem Hinweis ist doch der Fortgang eigentlich nur Formsache. unglücklich

Nochmal deutlich: AMGM und AMHM soll hier doch nicht auf die Reihe angewendet werden, sondern nur auf das Reihenglied $\begin{eqnarray*} a_n+a_{n+1} \end{eqnarray*}$ , d.h. das AM ist $\begin{eqnarray*} \frac{a_n+a_{n+1}}{2} \end{eqnarray*}$ .

07.12.2010, 21:34

eyohh

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okay... also meine letzten 4 Beiträge könnte man mal eben streichen!

...so, jetzt bin ich aber irgendwie trotzdem noch zu blöd dazu, das zu verstehen...

also ich habe jetzt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} < \sum_{n=1}^{\infty} (a_n+a_{n+1}) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{k=2}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$

so... dann laut AMGM:
Für n positive reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i\geq (\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ . Gleichheit gilt genau dann, wenn x1 = x2 = ... = xn ist.

aber was fange ich jetzt damit an... ich komme nicht damit zurecht!
Kannst du mir bitte nochmal ein klein bisschen helfen, (auch wenn du jetzt wahrscheinlich denkst: Da kann man doch gar nicht mehr helfen, weil es so klar ist...) smile

Woher kommt denn beim deinem letzten Post das $\begin{eqnarray*} \frac{a_n+a_{n+1}}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Sorry für die dummen Fragen, aber mir wird das alles noch nicht klar..

07.12.2010, 21:46

René Gruber

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Kann das wirklich wahr sein? Das ist ja nicht zu fassen, wie furchtbar kompliziert du um die Ecke denkst, statt mal die Hinweise in Ruhe durchzulesen: unglücklich

Zitat:

Original von René Gruber
Nochmal deutlich: AMGM und AMHM soll hier doch nicht auf die Reihe angewendet werden, sondern nur auf das Reihenglied $\begin{eqnarray*} a_n+a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Du hast mich mürbe gemacht, hier die Gesamtlösung für den ersten Teil:

Mit AMGM ist $\begin{eqnarray*} 0\leq \sqrt{a_na_{n+1}} \leq \frac{a_n+a_{n+1}}{2} \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n+a_{n+1}}{2} \end{eqnarray*}$ eine Majorante von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_na_{n+1}} \end{eqnarray*}$ . Und dass diese Majorante konvergiert, habe ich in meinem ersten Post oben nachgewiesen - fertig.

07.12.2010, 22:10

eyohh

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Okay, vielen Dank! Das sieht gut aus, jetzt wo's dasteht...

also für den zweiten Teil:
Ungleichung vom harm. + geometr. Mittel:
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} \leq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{1}{\frac{1}{a_{n} } + \frac{1}{a_{n+1} } } \leq a_{n} a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich aber noch nicht ob $\begin{eqnarray*} a_{n} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ konvergiert...

07.12.2010, 22:14

eyohh

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oder kann ich das vielleicht daraus schließen, dass die Wurzel daraus konvergiert...?

07.12.2010, 22:14

René Gruber

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Zitat:

Original von eyohh
also:
$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{1}{\frac{1}{a_{n} } + \frac{1}{a_{n+1} } } \leq a_{n} a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Setzt du immer so ungenau ein? Wenn schon, dann

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{2}{\frac{1}{a_{n} } + \frac{1}{a_{n+1} } } \leq \sqrt{a_{n} a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

Und dass das rechte dann eine konvergente Majorante ist, hast du (oder sagen wir doch ehrlicherweise: ich) im ersten Teil nachgewiesen.

P.S.: Was du hier verwenden willst, ist dann doch eher GMHM statt des von mir empfohlenen AMHM. Aber OK, nach der Vorarbeit vom ersten Teil geht das auch in Ordnung.

07.12.2010, 22:20

eyohh

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Achso und von
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{1}{a_{n} } + \frac{1}{a_{n+1} } } \end{eqnarray*}$

kann ich dann folgern, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n+1} } \right)^{-1} \end{eqnarray*}$ konvergiert!? Weil Zweiteres kleiner ist!?

07.12.2010, 22:21

René Gruber

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Oder weil man konstante Faktoren einfach aus der Reihe herausziehen kann - die ändern also das Konvergenzverhalten in keinem Fall, sofern sie von Null verschieden sind.

07.12.2010, 22:23

eyohh

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Okay, klasse!
Vielen, vielen Dank für die viiiiele Geduld! smile

Und du magst es nicht glauben- aber zumindest jetzt im Nachhinein ist mir das ein oder andere Licht aufgegangen...!
Aber ich wär ja schon auf den Ansatz nie selbst gekommen!

Vielen Dank! Freude

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