Lineare unabhängigkeit einer menge

06.12.2010, 20:24	Theta	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare unabhängigkeit einer menge Meine Frage: Hallo allerseits, Hab hier ne kurze Frage: Es seien $\begin{eqnarray} a,b,c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray} \{\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a² \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ b² \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ c \\ c² \end{pmatrix} \}\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ genau dann linear unabhängig ist, wenn die Zahlen $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ paarweise verschieden sind, d.h. $\begin{eqnarray} a\neq b, a \neq c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \neq c \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Nun normaler Weise würde man bei lin. unabh. so vorgehen: $\begin{eqnarray} 0\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a² \end{pmatrix}=0\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ b² \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 1 \\ c \\ c² \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Jetzt ist hier aber verlangt dass die Zahlen $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ paarweise verschieden sein sollen, d.h. $\begin{eqnarray} a\neq b, a \neq c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \neq c \end{eqnarray}$ . Was soll ich mir nun genauer darunter vorstellen? Sei $\begin{eqnarray} c=-b,a\neq b, a \neq c \end{eqnarray}$ , dann folgt $\begin{eqnarray} 0\begin{pmatrix} 1 \\ a \\ a² \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ b² \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ c \\ c² \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ b \\ b² \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -b \\ -b² \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Das ist so irgendwie das einzige was mir hier einfällt. Außerdem weiß ich noch, dass ich die Rückrichtung auch beweisen muss. Danke im Voraus
06.12.2010, 20:50	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr beide scheint wohl dieselbe Uni zu besuchen. Thread gibt es schon: Linear Abhängigkeit Ibn Batuta

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