Monotonieverhalten, Verkettung von Funktionen

06.12.2010, 20:46	coco21	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonieverhalten, Verkettung von Funktionen Meine Frage: Gegeben seien zwei reele Funktionen u: $\begin{eqnarray} \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ und v: $\begin{eqnarray} \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ . Welches Monotonieverhalten besitzt u o v, wenn gilt a) u und v sind streng monoton wachsend b) u und v sind streng monoton fallend c) u ist streng monoton wachsend, v ist streng monoton fallend d) u ist streng monoton fallend, v ist streng monoton wachsend Meine Ideen: Streng monoton wachsend: x < y - f(x) < f(y) Streng monoton fallend: x < y - f(x) > f(y) Wie kann ich obige Definitionen auf die Aufgabe (Verkettung von Funktionen/ Monotonieverhalten) anwenden?
06.12.2010, 21:04	Risuku	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm dir doch mal zwei Elemente $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x > y \end{eqnarray}$ und schau dir an wie sich die Funktion $\begin{eqnarray} u \circ v \end{eqnarray}$ verhält wenn du x und y damit abbildet. Gruß Edit: Vllt ein Beispiel zu a: Sei x > y. Dann ist ja nach Vorraussetzung: u(x) > u(y) Nun hast du wieder zwei reele Zahlen in Relation stehen. Wende nun v auf beide Zahlen an. Das sagt wiederrum: v(u(x)) > v(u(y)) Also in diesem Fall ist, unter Berücksichtigung das u und v streng monotonwachsend sind, $\begin{eqnarray} u \circ v \end{eqnarray}$ ebendso streng monotonwachsend.
09.12.2010, 19:41	coco21	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber für ein streng monotones Wachstum gilt doch: x < y Warum nimmst du x > y ?? Ich könnte ja für x und y auch mal Zahlen einsetzen: z.B. 2 < 5 Aber wie geht es jetzt weiter?
09.12.2010, 19:49	Risuku	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach x > y oder x < y :P Vertauschen der Werte ergibt das selbe. Du darfst nicht mit Beispielen rechnen, zumindest im Beweis. Die bringen dir nichts außer einen Hinweis dazu was du evtl rausbekommst. Also nimm einfach mal an: x < y Dann zur 1. Aufgabe: a) u und v sind streng monoton wachsend Mit x < y gilt: $\begin{eqnarray} v(x) < v(y) \end{eqnarray}$ Mit v(x) < v(y) gilt: $\begin{eqnarray} u(v(x)) < u(v(y)) \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} u\circ v(x) < u\circ v(y) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x < y \end{eqnarray}$ Also ist die Verkettung der Fkt auch streng monoton wachsend. (Hatte in meiner ersten Lösung u und v vertauscht sorry) So hangelst du dich du alle anderen Aufgaben.
10.12.2010, 18:59	coco21	Auf diesen Beitrag antworten »
B) u und v sind streng monoton fallend x < y v(x) > v(y) u (v(x)) > u (v(y)) u o v(x) > u o v(y) für x < y Stimmt das?

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