Kreisradius bestimmen aus 3 Punkten |
| 06.12.2010, 20:54 | Wohoopi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kreisradius bestimmen aus 3 Punkten ich würde für meine Studienarbeit gerne folgenden Autor zitieren, leider kann ich seiner Berechnung der Gleichung (18) zur Bestimmung des Kreisradius nicht ganz folgen. Wäre sehr nett wenn mir jemand schreiben könnte welche Umformungen denn genau nötig sind, bzw. wie genau er Gleichung (16) in (17) einsetzt um die 3 Winkel aus dem Gleichungssystem zu entfernen. Hier die Problemstellung als Bildanhang: Edit (mY+): Link zu externer Uploadseite wird entfernt. Hänge die Datei an deinen Beitrag an! Auf die Vorschau klicken! [attach]17029[/attach] Danke für eure Hilfe MfG Jan |
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| 06.12.2010, 22:02 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Kreisradius bestimmen aus 3 Punkten In Formelsammlungen findet man unter Planimetrie, Dreieck, Umkreisradius oft die Formel . Dabei gilt mit dem Vektorprodukt für den Dreiecksinhalt In einem geeigneten Koordinatensystem gilt A=(0,0), C=(x1,y1), D=(-x2,y2). Damit lässt sich die Formel (18) zeigen. |
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| 06.12.2010, 22:22 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » |
In dem Artikel wird wohl folgender Beweis beschrieben: Zunächst mal wenden wir nach (16) die Gleichung THETA = PHI + PSi an und erhalten: sin(THETA/2) = sin(( (PHI + PSI)/2). Dann wenden wird auf die linke Seite das Additionstheorem des Sinus an und erhalten ... = sin(PHI/2) * cos(PSI/2) + sin(PSI/2) * cos (PHI/2) Den cos ersetzen wir durch Wurzel (1 - sin²) Damit haben wir eine Gleichung erhalten, die nur noch den Sinus der halben Winkel THETA, PHI und PSI enthält. Die Winkelfunktionen ersetzen wir jetzt durch die drei Gleichungen aus (17). Da fällt der Faktor (1/2) / r schon mal weg. Und nun ersetzen wir noch die Strecken nach Pythagoras: |CA| = Wurzel( x1² + y1²) |AD| = Wurzel(x2² + y2²) |CD| = Wurzel( (x1+x2)² + (y1-y2)² ) Tja ... das liefert einen recht wuchtigen Term, den man erst mal quadrieren muss. Und der Rest ist hartnäckige Termumformung ... 
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| 06.12.2010, 23:04 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Kreisradius bestimmen aus 3 Punkten Mit der kreisdefinierenden Zeichnung habe ich ein Problem. Durch die Richtung der Maßpfeile sind Tangente und Normale im Punkt A schon festgelegt - und damit der Strahl, auf dem der Kreismittelpunkt liegt. Ich kann deshalb aus den "Koordinaten" von C allein den Radius bestimmen und ebenso aus D. edit Mein Problem hat sich erledigt. Die Zeichnung bildet einen Spezialfall ab, der für die Analyse nicht hilfreich ist. Ein Kreis durch die drei Punkte hat generell den in der Formel angegebenen Radius r. . |
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| 07.12.2010, 15:46 | Whohoopi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das mit der Zeichnung stimmt. Habe auch nochmal in der Originalquelle nachgesehen, da wird eindeutig gesagt, das A ein beliebiger Punkt auf dem Kreisbogen sein kann. Insofern ist die Zeichnung wirklich irreführend... Hab auch mal versucht deinen Ansatz nachzurechnen Barney. Sah anfangs gar nicht schlecht aus, aber als ich angefangen hab die Strecken durch x und y zu ersetzen hab ich die Lust verloren. Zumal ich glaube dass sich der Autor bei der Bestimmung auch einfach der Planimetrieformel die wisili gepostet hat, bedient hat. Damit lässt sich die Rechnung ja wirklich sehr einfach nachvollziehen. Insofern bin ich zufrieden, hab eine Formel gelernt die ich noch nicht kannte, und ihr könnt das Problem als gelöst betrachten. Herzlichen Dank! |
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