Wahrscheinlichkeits-Aufgabe

07.12.2010, 00:08

jsk85

Wahrscheinlichkeits-Aufgabe

Hallo zusammen,

ich brauche (leider) mal wieder etwas Utnerstützung. Diesmal in der Statistik. Ich hoffe ihr habt Zeit und Lust mir zu helfen. Und zwar geht es um diese Aufgabe:

Zitat:

In einer Stadt erscheinen zwei Zeitungen. Zeitung 1 wird von 50% der Erwachsenen gelesen. 15% der Erwachsenen lesen Zeitung 1, aber nicht Zeitung 2. 20% lesen Zeitung 2 aber nicht Zeitung 1. Man wählt einen Erwachsenen zufällig aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liest er:

a.) wenigstens eine Zeitung?
b.) beide Zeitungen?
c.) höchstens eine Zeitung?
d.) keine Zeitung?

Nun, rein sachlogisch komme ich auf diese Ergebnisse:

a.) wenigstens eine Zeitung?
Naja, wir wissen ja, dass 50% Zeitung 1 lesen. Da sind dann ja auch diejenigen enthalten, die Zeitung 1 und Zeitung 2 lesen. Also müssen wir nur noch die addieren, die nur Zeitung 2 lesen. Auch der Wert ist gegeben - 20%
Also liegt die Wahrscheinlichkeit bei 70%!

b.) beide Zeitungen?
Wir wissen, dass 50% Zeitung 1 lesen. 15% lesen aber nur Zeitung 1 und nicht Zeitung 2. Also muss der Rest von denen, die Zeitung 1 lesen auch Zeitung 2 lesen: 50%-15% = 35%

c.) höchstens eine Zeitung?
15% der Erwachsenen lesen Zeitung 1, aber nicht Zeitung 2.
20% lesen Zeitung 2 aber nicht Zeitung 1.
15%+20% = 30%

d.) keine Zeitung?
Aus a wissen wir, dass 70% wenigstens eine Zeitung lesen. Dann werden wohl 30% keine Zeitung lesen.

Soweit, so gut. Sind die Lösungen richtig?
Mein problem ist: Wie komme ich denn nun mit Formeln zu diesem Ergebnis?
Ich bin gleich bei a gescheitert. Und zwar bin ich so vorgegangen:

Ich suche nach der Wahrscheinlichkeit, dass entweder Z1 oder Z2 gelesen wird.
Also: $\begin{eqnarray*} P(Z1 \cup Z2)=\frac{50}{100}+\frac{55}{100}-\frac{50}{100}*\frac{55}{100}=0,775 \end{eqnarray*}$

Nun...leider ein anderer Wert als der sachlogisch von mir ermittelte Wert. Woran liegt es? Was ist falsch? Was ist richtig? Vlt. könnt ihr mir ja erst mal mit a.) helfen - mit Glück schaffe ich den Rest dann alleine... Augenzwinkern

Danke und liebe Grüße
Jan

07.12.2010, 09:04

addor

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a), b) und d) hast Du m.E. richtig gelöst. In c) ist mir Deine Gleichung

15% + 20% = 30%

nicht einsichtig.

Zu d): Wenn die Leute in dieser Stadt tatsächlich nur Zeitung 1 oder Zeitung 2 lesen und sich keine andere Zeitungen rein ziehen, ist dann die Antwort auf d) nicht einfach das Komplement von a)?

Im Allgemeinen kannst Du ein Mengensystem mit n Mengen in $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ disjunkte Teilmengen zerlegen. In Deinem Fall hast Du nur 2 Mengen. Ich bezeichne die Menge der Personen, die Zeitung 1 lesen mit A und die Menge der Personen, die Zeitung 2 lesen mit B. Die Gesamtmenge der Einwohner der Stadt bezeichne ich mit E. Dann hast Du

$\begin{eqnarray*} E = (A\cap B)\cup (A\cap \neg B)\cup (\neg A\cap B)\cup (\neg A \cap \neg B) \end{eqnarray*}$

oder - wenn wir für $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ a schreiben und die Schnittzeichen weglassen:

$\begin{eqnarray*} E = AB\cup Ab \cup aB \cup ab \end{eqnarray*}$

Da diese Mengen disjunkt sind, ist die Mächtigkeit der Vereinigung gleich der Summe der Mächtigkeiten, also

$\begin{eqnarray*} | E | = | AB | +| aB | +| Ab | +| ab | \end{eqnarray*}$

Für die Wahrscheinlichkeiten dividierst Du die Gleichung durch $\begin{eqnarray*} | E | \end{eqnarray*}$ und erhältst

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{| AB |}{|E|}+\frac{| aB |}{|E|}+\frac{| Ab |}{|E|}+\frac{| ab |}{|E|} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst Du quasi ablesen. Für a) ergibt sich also

$\begin{eqnarray*} p(A\cup B)=p(AB)+p(Ab)+p(Ba)= \frac{| AB |}{|E|}+\frac{| aB |}{|E|}+\frac{| Ab |}{|E|}=0.7 \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 10:06

addor

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Übrigens, zu Deiner Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung. Diese lautet:

$\begin{eqnarray*} p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A)p(B|A) \end{eqnarray*}$

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine B liest, wenn sie schon A liest. Das ist ja wohl $\begin{eqnarray*} p(B | A) =\frac{0.35}{0.5}=0.7 \end{eqnarray*}$ , also kriegst Du

$\begin{eqnarray*} p(A \cup B)=0.5+0.55-0.5\cdot 0.7=0.7 \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 23:35

jsk85

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Hallo,

danke für deine Antwort...ich hab das ganze spontan nicht wirklich nachvollziehen können. In den nächsten Tagen muss ich noch mal ein zwei Dinge die du hier erwähnst nachlesen, dann werde ich noch mal Rückmeldung geben, ob es jetzt einleuchtend ist oder ob ich weitergehende Unterstützung benötige!

Auf jeden Fall bis hier schon mal Danke für deine Unterstützung!

Grüße
Jan

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