Kurvendiskussion

07.12.2010, 00:12

chocolate4ever

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Kurvendiskussion

Hi könt ihr bitte kurz drüber schaun? dankeschön!

$\begin{eqnarray*} f(X)=\frac{8}{4-x^2} \end{eqnarray*}$
D=R\{-2;2}
Symmetrie zur y-Achse

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty} f(x)= -\infty \end{eqnarray*}$

an den Definitionslücken $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$
aI: y=0
aII:x=2
aIII: x=-2

Nullstellen: keine
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac {16x}{(4-x^2)^2}<br /> <br /> TIP (0/2)<br /> W=]-\infty;0[ u [2;+\infty[<br /> \end{eqnarray*}$

und bei der Krümmung weiß ich grad nicht weiter.

dankeschön!

07.12.2010, 00:28

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty} f(x)= -\infty \end{eqnarray*}$

Das stiimmt nur für den Nenner des Funktionsterms, nicht aber für die die Funktion als Ganzes.

Zitat:

und bei der Krümmung weiß ich grad nicht weiter.

Dafür brauchst du die 2. Ableitung.

07.12.2010, 00:44

chocolate4ever

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eh häh? dann ist der limes für die ganze funktion was? 8?

$\begin{eqnarray*} <br /> f''(x)=\frac {16}{(4-x^2)^2}+\frac{64x^2}{(4-x^2)^3} \end{eqnarray*}$

Horizontalstelle ist bei NS=0

07.12.2010, 01:06

tigerbine

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Zeichne es dir doch hier....

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{8}{4-x^2} =\frac{8}{(2+x)(2-x)} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich treten Vorzeichenwechsel auf.

07.12.2010, 01:10

chocolate4ever

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cool dankeschön smile

smile

stimmt meine zweite Ableitung?

07.12.2010, 01:13

tigerbine

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http://www.mathetools.de/

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07.12.2010, 01:20

chocolate4ever

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okay dankeschön. ich melde mich, wenn es noch etwas gibt.
nacht.

08.12.2010, 16:24

chocolate4ever

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RE: Kurvendiskussion
könnt ihr bitte kurz schaun ob ich richtig abgeleitet hab?

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)= \frac{8}{4-x^2}<br /> f'(x)= \frac{16x}{(4-x^2)^2}<br /> f''(x)= \frac{256+336x^4}{((4-x^2)^2)^2} \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 16:28

Equester

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Erste Ableitung stimmt...kannst du mir die Rechenschritte deiner zweiten
Ableitung aufschreiben? Da hab ich glaub was anneres Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.12.2010, 16:28

mYthos

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Rechenfehler bei der 2. Ableitung. Den Nenner als Potenz mit einer Hochzahl schreiben! Ausserdem kann (bei richtiger 2. Abl.) noch durch $\begin{eqnarray*} (4 - x^2) \end{eqnarray*}$ gekürzt werden!

mY+

08.12.2010, 16:31

Equester

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Edit:

Ahh Du hasts gesehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.12.2010, 16:33

mYthos

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Die erste Ableitung stimmt. Bei nochmaliger Ableitung mit der Bruchregel belasse den Faktor $\begin{eqnarray*} (4 - x^2) \end{eqnarray*}$ , diesen kann man aus dem Zähler ausklammern und gegen denselben Faktor zur 4. Potenz im Nenner kürzen.

mY+

08.12.2010, 16:34

chocolate4ever

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$\begin{eqnarray*} <br /> f''(x)= \frac {(4-x^2)^2\cdot 16-16x\cdot (-32x^3+4x^3)}{((4-x^2)^2)^2}<br /> = \frac {(16-8x^4+x^4)\cdot + 512x^4-64x^4}{((4-x^2)^2)^2}<br /> =\frac {256-128x^4+16x^4+512x^4-64x^4}{((4-x^2)^2)^2}<br /> = \frac {256+336x^4}{((4-x^2)^2)^2} \end{eqnarray*}$

wo soll ich kürzen? gleich beim ersten bruch?

08.12.2010, 16:38

mYthos

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Gleich in der ersten Zeile stimmt der zweite Summand nicht. Leite doch den Nenner direkt nach der Potenz- und Kettenregel ab.

mY+

08.12.2010, 16:41

chocolate4ever

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Potenz- und Kettenregel?

08.12.2010, 16:44

mYthos

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Du hast doch den Nennerterm $\begin{eqnarray*} (4-x^2)^2 \end{eqnarray*}$ zu differenzieren. Dabei solltest du nicht ausquadrieren, damit der Faktor gewahrt bleibt.

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (f(x))^2 \ \text{ist} \ 2 \cdot f(x) \cdot f \ '(x) \end{eqnarray*}$

Oder?

mY+

08.12.2010, 16:51

chocolate4ever

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wieso $\begin{eqnarray*} 2 \cdot f(x) \cdot f'(x) \end{eqnarray*}$

also die 2 versteh ich. das andere nicht.

08.12.2010, 16:55

mYthos

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Also die 2 nach der Potenzregel, ist klar. Danach ist noch mit der Ableitung von f(x) zu multiplizieren ("Nachdifferenzieren"), das geschieht wegen der Kettenregel bei zusammengesetzten Funktionen.
__________

Wenn du ausmultiplizierst, bekommst du natürlich ein gleichwertiges Resultat, aber dabei hast du eben offensichtlich einen Fehler gemacht.

mY+

08.12.2010, 16:58

chocolate4ever

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irgendwie sagt mir die kettenregel grad 0....

08.12.2010, 17:13

mYthos

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Wenn diese (noch) nicht zu deinem Wissensgebiet gehört, musst du eben ausmultiplizieren und danach ableiten. Dann musst du dies aber richtig machen. Nochmals muss ich wiederholen: Dabei hast du einen Fehler gemacht.
___________________

Zur Kettenregel: Willst du dich darüber nicht informieren?
Sie kommt dann zur Anwendung, wenn eine Funktion einer anderen Funktion vorliegt. Dabei ist immer zuerst die äussere Funktion du differenzieren und danach mit der Ableitung der inneren Funktion zu multiplizieren ("innere Ableitung").

Beispiele:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (3x^2 - 7)^4 \ \to \ f \ '(x) = 4 \cdot (3x^2-7)^3 \cdot 6x = 24x(3x-7)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin 5x \ \to \ f \ '(x) = (\cos 5x) \cdot 5 = 5 \cos 5x \end{eqnarray*}$
( sin(5x) .. äussere Funktion, (5x) innere Funktion )

mY+

08.12.2010, 17:28

chocolate4ever

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aaah okay.
heißt es dann:
$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac {(4-x^2)^2 \cdot-16x(2 \cdot (4-x^2) \cdot (-x)} {(4-x^2)^2}<br /> =16+32x^2(4-x^2)<br /> =16+128x^2-32x^4 \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 17:37

mYthos

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Da ist was durcheinander geraten. Im Zähler fehlt am Anfang 16. Und wo ist der Nenner? Ausserdem gehört in den Nenner $\begin{eqnarray*} (4-x^2)^4 \end{eqnarray*}$ . Im zweiten Teil des Zählers bleibt ein Faktor (4-x^2) stehen, diesen kann man dann ausklammern. Bei der Kettenregel hast du offensichtlich noch einen Faktor 2 vergessen.

Also:

$\begin{eqnarray*} \ldots = \frac{16(4-x^2)^2-16x \cdot 2 (4-x^2) \cdot (-2x)}{(4-x^2)^4} \end{eqnarray*}$

Und weiter geht's (--> vereinfachen)!

mY+

08.12.2010, 17:43

chocolate4ever

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huch.
$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)=\frac {16-16x \cdot (8-2x^2)(-2x)}{(4-x^2)^2}<br /> =\frac {16+32x^2 \cdot (8-2x^2)}{(4-x^2)^2}<br /> = \frac {16+256x^2-64x^4}{(4-x^2)^2} \end{eqnarray*}$
jetzt richtig?

08.12.2010, 17:55

mYthos

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Huch! Das muss allerdings ich jetzt sagen Big Laugh

Big Laugh

Man kann nur durch EINEN Faktor $\begin{eqnarray*} (4 - x^2) \end{eqnarray*}$ dividieren, und dabei ist es dann genau umgekehrt: Vorne bleibt noch einer stehen, hinten fällt er raus und im Nenner steht dann eine dritte Potenz!

Wir sind doch schon bei der 2. Ableitung, die erste war richtig und die ist schon gegessen. Oder meinst du hoffentlich statt f '(x) ohnehin f ''(x) ?

Ich schrieb dir netterweise auch schon das hier:

$\begin{eqnarray*} f \ ''(x) = \frac{16(4-x^2)^2-16x \cdot 2 (4-x^2) \cdot (-2x)}{(4-x^2)^4} \end{eqnarray*}$

Mache nochmals von da an weiter.

mY+

08.12.2010, 18:06

chocolate4ever

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ja ich hab f''(x) gemeint. hab wohl das zweite ' nicht mehr richtig getippt^^

$\begin{eqnarray*} <br /> f''(x)=\frac {16(4-x^2)^2-16x \cdot 2(4-x^2) \cdot (-2x)} {(4-x^2)^4}<br /> = \frac {16(4-x^2)^2+64x^2}{(4-x^2)^3}<br /> =\frac {32x(4-x^2)+64x^2}{(4-x^2)^3} \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 18:22

mYthos

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Sag' mal, WIE kürzt du? Aus Summen kürzen nur die Du... Big Laugh

Big Laugh

, lautet ein Sprichwort.
Klammere im Zweifelsfalle doch erst mal den Faktor $\begin{eqnarray*} (4 - x^2) \end{eqnarray*}$ im Zähler aus!
Und wie du von der 2. zur 3. Zeile kommst, bleibt auch ein Rätsel.

mY+

08.12.2010, 18:38

chocolate4ever

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oh man ich muss langsam über mich selbst und meine unkozentriertheit lachen Big Laugh

Big Laugh

also nochmal.

$\begin{eqnarray*} <br /> f''(x)= \frac {16(4-x^2)^2-16x \cdot 2(4-x^2)(-2x)}{(4-x^2)^4}<br /> =\frac {(4-x^2)[16(4-x^2)-16x \cdot 2(-2x)]}{(4-x^2)^4}<br /> =\frac {64-16x^2+64x^2}{(4-x^2)^3}<br /> =16(3x^2+4) \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 18:42

Equester

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Passt (unter der Bedingung, dass du den Nenner nur vergessen hast hinzuschreiben)

08.12.2010, 18:46

chocolate4ever

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oh eh ja hab ich vergessen^^

08.12.2010, 18:47

Equester

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Abgesehen von dem passts Freude

Freude

08.12.2010, 18:49

chocolate4ever

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okay. wenn ich jetz die krümmung von meiner sexy funktion haben will mach ich f''(x)=0??

08.12.2010, 18:58

Equester

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Dann mach mal^^
Allerdings kenne ich das nicht. Auch die zugehörigen Bediungen kenne ich nicht.
Ich kann nur deinen Rechenweg kontrollieren

08.12.2010, 19:01

chocolate4ever

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x=2; x2=-2?

08.12.2010, 19:05

Equester

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Welche Gleichung hast du dafür genommen? Oo

08.12.2010, 19:08

chocolate4ever

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f''(x)....

08.12.2010, 19:10

Equester

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=16(3x²+4)?

08.12.2010, 19:11

mYthos

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Die Krümmung in einem Punkt der Kurve ist der Kehrwert des Krümmungsradius.
Was du da ausgerechnet hast (x = 2, -2), sind die Nullstellen des Nenners der 2. Ableitung und auch der gegebenen Funktion. Was bedeuten diese?

mY+

08.12.2010, 19:12

Equester

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Zitat:

Original von mYthos
Die Krümmung in einem Punkt der Kurve ist der Kehrwert des Krümmungsradius.
Was du da ausgerecnet hast, sind die Nullstellen des Nenners der 2. Ableitung und auch der gegebenen Funktion. Was bedeuten diese?

mY+

(Dem muss ich widersprechen.)

Siehe Unten

Edit.

08.12.2010, 19:14

chocolate4ever

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ja es gib keine Nullstellen, das weiß ihc, wiel ich die schon gezeichnet habe. aber....wie komm ich jetzt auf die krümmung?

08.12.2010, 19:16

mYthos

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Informiere dich mal über die Krümmung. Dazu gibt's auch eine hübsche Formel ...
Hatten wir auch schon:

krümmung einer ebenen kurve

@Equester

Dem kannst du nicht widersprechen, denn das ist so. Big Laugh

Big Laugh

Auch wenn die Kurve keine Wendepunkte haben sollte, eine Krümmung in einem beliebigen Punkt der Kurve gibt es allemal.
Ich bezog mich ausserdem auf den Post, in welchem x = 2 und x = -2 zu sehen waren.

mY+

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