streng monoton steigende folge, konvergenz

07.12.2010, 13:13

edurado

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streng monoton steigende folge, konvergenz

Meine Frage:
Hallo Freunde, ich habe gestern ein neues Übungsblatt bekommen und ich komm auch relativ gut mit den Aufgaben klar, nur an ein paar Aufgaben zerbrech ich mir den Kopf.
Ich muss die Aufgaben schon Mittwoch abgeben, daher hoffe ich ihr postet direkt alles was euch dazu einfällt. Vielen Dank

Diese Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen:

Für n element N betrachten wir die Funktion fn: (0,1/2) -> R ; x->1+x+...+x^n
Zeigen Sie, dass (fn) gleichmäßig gegen g: (0,1/2) ->R , x->1/1-x konvergiert.

Meine Ideen:
Danke im Vorrauuuuuuuuuuuuuus

07.12.2010, 13:17

system-agent

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Riecht verdächtig nach der geometrischen Reihe.

07.12.2010, 13:18

schultz

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du kannst dn als geometrische reihe auffassen...
zu spät^^

07.12.2010, 13:28

edurado

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Danke erstmal gentlemans

das habe ich mir auch überlegt..ich weiss nur nicht wie ich anfangen soll!!!

07.12.2010, 13:30

system-agent

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Du musst zuerst einsehen, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die punktweise Grenzfunktion ist. Dann kommt die gleichmässige Konvergenz.

07.12.2010, 13:34

edurado

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Die Definitionen von punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz sind mir bekannt.
punktweise: $\begin{eqnarray*} f_n(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

gleichmäßig: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sup{|f_n(x)-f(x)|=0} \end{eqnarray*}$

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07.12.2010, 13:37

edurado

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Zitat:

Original von edurado
Die Definitionen von punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz sind mir bekannt.
punktweise: $\begin{eqnarray*} f_n(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

gleichmäßig: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sup{|f_n(x)-f(x)|=0} \end{eqnarray*}$

reciht dass wenn ich nur schreibe
$\begin{eqnarray*} f_n(0)=fg(0) \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 13:39

system-agent

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Du weisst schon dass das Unsinn ist was du da geschrieben hattest?

Nunja. Also weise nun die punktweise Konvergenz nach.

07.12.2010, 13:44

edurado

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ja hast du recht...

07.12.2010, 14:06

edurado

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ok ich weiss dass die Fn (x) funktion = 1+x+....+x^n punktweise gegen f(x) konvergeiert...

f (x)= 1/ 1-x

für x=0 --> bekomme ich 1/1-0= 1

für x= 1/2 -> bekomme ich 1/1-1/2= 2

darasu folgt lim n->oo= 1+x+..+x^n = 1 für x =0
darasu folgt lim n->oo= 1+x+..+x^n = 2 lim n->0 1^n +1=2 füe alle x element [0, 1)

ist das überhaupt richtig!!!???

07.12.2010, 14:16

system-agent

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Also ich weiss wirklich nicht was du da tust unglücklich

unglücklich

.

Punktweise Konvergenz bedeutet, dass du für ein festes $\begin{eqnarray*} x_0\in\left(0,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x_0) \end{eqnarray*}$ berechnen musst.
Ausserdem hast du da plötzlich Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet, obwohl diese garnicht im Definitionsintervall sind.

07.12.2010, 14:26

edurado

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dass heisst ich nehme ein elemnt von meinem bereich x0=( 1/3 ) zumbeispiel und gucke ob sie die vor. erfüllt....???

07.12.2010, 14:35

edurado

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punktweise hiesst doch wenn für jedes x element D (fn(X)) gegen f(x) konvergiert!!!

??? was ist hier los

07.12.2010, 14:41

system-agent

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Zitat:

Original von edurado
punktweise hiesst doch wenn für jedes x element D (fn(X)) gegen f(x) konvergiert!!!

Ja, dann beweise dass es auch hier so ist. Damit deine Funktionenfolge überhaupt gleichmässig gegen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konvergieren kann, muss sie das erstmal punktweise tun. Also beweise, dass für jedes feste $\begin{eqnarray*} x_0\in\left(0,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ immer
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt.

07.12.2010, 15:16

edurado

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folgender satz hat der prof in der vorlesung mit einem beispiel deutig gemacht !!

Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz.
Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch!

der hat es auch bewisen...

07.12.2010, 15:20

system-agent

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Ich habe auch nie behauptet dass das falsch wäre. Nur dort wurde vorausgesetzt dass du eine Grenzfunktion hast. Hier ist aber zunächst einmal die Behauptung dass diese Grenzfunktion gerade die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist. Und Grenzfunktion bedeutet punktweise Grenzfunktion.

Deswegen habe ich dir auch gesagt du sollst zuerst die punktweise Konvergenz zeigen und danach kommen die Extras.

07.12.2010, 15:28

edurado

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aber wenn ich jetzt richtig verstanden habe ist die konvergenze punkitweise trivial weil ich auf beiden seiten mein festes x0 nur aus dem bereich (0, 1/2 ) wählen kann...das heisst dass ich in diesem falle bestimmt eine erfüllte vorrausetzung fn (x0) = g (x0) habe...

07.12.2010, 15:30

system-agent

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Zitat:

Original von edurado
fn (x0) = g (x0) habe...

Es muss dann schon $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f_n(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ heissen unglücklich

unglücklich

.

Ja, es ist wirklich trivial, nur hinschreiben muss man es trotzdem wieso es trivial ist.

07.12.2010, 15:37

edurado

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genau hier ist mein problem....

ich weiss es nicht so ganz wie ich das beweisen kann..

sei x0 element D , x0 element (0,1/2) , fn(x0) = 1+x0+......+xo^n

g(xo) = 1/1-xo -> 1 / 1- lim n->0 x0
sowie fn(x0)= 1+lim x0+....+lim xo^n

fall :0 <x <1/2

lim n-> oo fn(x0) = 1+( dieser trerm geht richtung Null )
lim n->oo g(x0) = 1/ 1- limn->00 (x0) = 1 / 1- ( geht gegen Null)

07.12.2010, 15:51

system-agent

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Also kann es für dich doch nicht so trivial sein.

$\begin{eqnarray*} \lim_{N\to\infty}f_N(x_0)=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=0}^Nx^n=? \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 15:59

edurado

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du meinst geometrische reihe

oder??

1+1/2+.......+1/n ( aber das sagte ich doch---> der wird immer und immer kleiner , Natürlich nie 0 aber sie bewegt sich richtung 0)

07.12.2010, 16:02

system-agent

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Zitat:

Original von edurado
du meinst geometrische reihe

Ja.

Zitat:

Original von edurado
1+1/2+.......+1/n ( aber das sagte ich doch---> der wird immer und immer kleiner , Natürlich nie 0 aber sie bewegt sich richtung 0)

So eine Aussage ist aber alles Andere als ein Beweis, also eine exakte Begründung.

07.12.2010, 16:20

edurado

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Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von edurado
du meinst geometrische reihe

Ja.

Zitat:

Original von edurado
1+1/2+.......+1/n ( aber das sagte ich doch---> der wird immer und immer kleiner , Natürlich nie 0 aber sie bewegt sich richtung 0)

So eine Aussage ist aber alles Andere als ein Beweis, also eine exakte Begründung.

so dass fn(x0)= 1 +lim n->oo 1/x0+.......+lim 1/x^n
= 1+ 0 = 1
lim n->oo g (x0) = 1 / 1 - lim n->xo^n= 1

=> lim fn(x0)= lim g(x0)

sag bitte dass es jetzt falsch ist !!!???

07.12.2010, 16:22

system-agent

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Natürlich ist das falsch, vor allem nachdem ich dir schon fast die gesamte Lösung hingeschrieben habe [Geometrische Reihe].

07.12.2010, 16:38

edurado

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Zitat:

Original von system-agent

$\begin{eqnarray*} \lim_{N\to\infty}f_N(x_0)=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=0}^Nx^n=1+1/2+1/3+1/4+......+1/n \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 16:42

system-agent

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Was soll das nun sein?

07.12.2010, 16:50

edurado

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Zitat:

Original von system-agent
Was soll das nun sein?

sollte eigentlich 1+ 1/n darstellen..ich weiss selber nicht merh und vorallem nicht was du von mir verlangst !!!

aber danke dir wirklicht für deine hilfe

07.12.2010, 17:00

system-agent

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Alles was ich dich gefragt habe war nach einer mathematisch korrekten Erklärung wieso
$\begin{eqnarray*} \lim_{N\to\infty}f_N(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt für die zu betrachtenden $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Und darauf sollte als Antwort
$\begin{eqnarray*} \lim_{N\to\infty}f_N(x_0)=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=0}^Nx^n=... \end{eqnarray*}$
weiter ausgefüllt werden.
Und das geht, wie ich dir schon ganz am Anfang gesagt habe mit der geometrischen Reihe.

Wenn du das dann nun begründet hast, dann kannst du dich daran machen, die gleichmässige Konvergenz zu beweisen. Auch dort ist der ganze Trick wieder die geometrische Reihe zu nutzen.

07.12.2010, 17:09

edurado

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Zitat:

Original von system-agent
Alles was ich dich gefragt habe war nach einer mathematisch korrekten Erklärung wieso
$\begin{eqnarray*} \lim_{N\to\infty}f_N(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt für die zu betrachtenden $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Und darauf sollte als Antwort
$\begin{eqnarray*} \lim_{N\to\infty}f_N(x_0)=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=0}^Nx^n=... \end{eqnarray*}$
weiter ausgefüllt werden.
Und das geht, wie ich dir schon ganz am Anfang gesagt habe mit der geometrischen Reihe.

ist dass dann = x^0 +x^1+...........+x^n = 1+x^1+...+x^N

und x0 sei elemnt aus D (0 , 1/2) muss dann unser x0 : 0<x0<1/2 liegen
habe ich das jetzt richtig verstanden???

Wenn du das dann nun begründet hast, dann kannst du dich daran machen, die gleichmässige Konvergenz zu beweisen. Auch dort ist der ganze Trick wieder die geometrische Reihe zu nutzen.

07.12.2010, 17:15

system-agent

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unglücklich

Anscheinend hast du es wirklich nicht verstanden obwohl du gesagt hast dass es trivial für dich ist.

Also ich schreibe es dir mal hin:
$\begin{eqnarray*} \lim_{N\to\infty}f_N(x_0)=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=0}^Nx_0^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x_0^n=\frac{1}{1-x_0}=g(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Nun musst du jedes einzelne Gleichheitszeichen eben noch begründen.

07.12.2010, 17:24

edurado

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traurig

07.12.2010, 17:34

system-agent

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Du musst schon auch ein bischen mitarbeiten.

Vor allem die Begründung der Gleichheitszeichen sollte nun sehr leicht fallen, nicht zuletzt weil es bis auf eines nur Definitionen sind.

07.12.2010, 17:35

edurado

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ich versuch die ganze ziet..ich hab an irgend einer stelle ein denkfehler den ich versuche zu verstehen!!!

07.12.2010, 17:46

edurado

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Es ist nun (fn) eine Folge von Funktionen auf D teilmenge R

also die reihe fn konvergiert punktweise wenn der partialsummen auch punktweise konvergiert

so erhalte ich nun folgende Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz
von Reihen.
so dass wenn der partialsumme cn konvergiert => konvergiert auch fn gleichmässig

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