Bestimme alle Lösungen x,y element H des Gleichungssystem

07.12.2010, 13:17

Knanu

Bestimme alle Lösungen x,y element H des Gleichungssystem

Würde gerne wissen, wie man das genau rechnet.

x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ H:

jx+yk=1
xi+ky=2

So jetzt habe ich die erste nach x aufgelöst

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1-yk}{j} \end{eqnarray*}$

jetzt x in 2. Gleichung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-yk}{j} *(i)+ky=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{i-yki}{j} +ky=2 \end{eqnarray*}$ |nach Def. ik=-j

$\begin{eqnarray*} \frac{1+yj}{j} +ky=2 \end{eqnarray*}$ |*j
$\begin{eqnarray*} i+yj+kyj=2j \end{eqnarray*}$ |nach Def. jk=i

$\begin{eqnarray*} i+yj+yi=2j \end{eqnarray*}$ |*i

$\begin{eqnarray*} i^{2} +yji+yi^{2} =2ji \end{eqnarray*}$ | nach Def. $\begin{eqnarray*} i^{2} =-1 \end{eqnarray*}$ und ij=k

$\begin{eqnarray*} -1+yk-y=2k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} yk-y=2k+1 \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte hier jemand weiter helfen??

Edit von lgrizu: Latex korrigeirt um es etwas übersichtlicher zu gestalten

07.12.2010, 13:27

lgrizu

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RE: Bestimme alle Lösungen x,y element H des Gleichungssystem
Was genau willst du ausrechnen, was ist H, wo ist das alles definiert, das du benutzt, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} jk=i \end{eqnarray*}$ ?

Schreibe doch mal bitte die Aufgabe vollständig hier hin..

07.12.2010, 13:42

Knanu

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RE: Bestimme alle Lösungen x,y element H des Gleichungssystem
Ok, H sind die Quaternionen
Es gibt Multiplikationsregeln für die imaginären Einheiten:
ij=k=-ji
ik=-j=-ki
jk=i=-kj
$\begin{eqnarray*} i^{2} =-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} j^{2} =-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k^{2} =-1 \end{eqnarray*}$

Ich möchte alles Lösungen von z $\begin{eqnarray*} \in \mathbb H \end{eqnarray*}$

Edit von lgrizu: Latex korrigiert, wenn du fragen zu Latex hast kannst du dich gerne per PN bei mir melden oder das Unterforum Latex zu rate ziehen.

07.12.2010, 13:56

lgrizu

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RE: Bestimme alle Lösungen x,y element H des Gleichungssystem
Okay, wir haben also $\begin{eqnarray*} yk-y=2k+1 \end{eqnarray*}$ , bis hierhin sollte auch alles richtig sein.

Das Ditributivgesetz gilt, also erhalten wir: $\begin{eqnarray*} yk-y=y(k-1)=2k+1 \end{eqnarray*}$ nun kann man von rechts mit $\begin{eqnarray*} (k-1)^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

07.12.2010, 14:53

Knanu

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RE: Bestimme alle Lösungen x,y element H des Gleichungssystem
Ok, kannst du mir bitte erklären wie man dann vo rechts mit $\begin{eqnarray*} (k-1)^{-1} \end{eqnarray*}$ multiplizert?

das hier weiß ich:
$\begin{eqnarray*} (k-1)^{-1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (-1+k)^{-1} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{-1-k}{1^{2}+1^{2}} \end{eqnarray*}$

=- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$

nun würde ich das für $\begin{eqnarray*} y(k-1) \end{eqnarray*}$ einsetzen

$\begin{eqnarray*} y(-\frac{1}{2} - \frac{k}{2})=2k+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{2k+1}{-\frac{1}{2} - \frac{k}{2} } \end{eqnarray*}$

passt es so??

07.12.2010, 17:57

lgrizu

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RE: Bestimme alle Lösungen x,y element H des Gleichungssystem
wenn $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb H,~z=x_0+x_1i+x_2j+x_3k \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \overline{z} = x_0-x_1i-x_2j-x_3k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} \end{eqnarray*}$ .

So sollte es kein Problem sein, das inverse zu bestimmen.

07.12.2010, 20:26

Knanu

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Ich habe oben doch schon $\begin{eqnarray*} (k-1)^{-1} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} (k-1)^{-1} =- \frac{1}{2} - \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$

das müsste doch stimmen

07.12.2010, 21:28

lgrizu

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Zitat:

Original von Knanu
Ich habe oben doch schon $\begin{eqnarray*} (k-1)^{-1} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} (k-1)^{-1} =- \frac{1}{2} - \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$

das müsste doch stimmen

Sorry, das stimmt natürlich.

Nun multiplizierst du die Gleichung $\begin{eqnarray*} y(k-1)=(2k+1) \end{eqnarray*}$ von rechts mit $\begin{eqnarray*} (k-1)^{-1} \end{eqnarray*}$ und erhälst:

$\begin{eqnarray*} y(k-1)(k-1)^{-1}=(2k+1)(-\frac{1}{2}- \frac{k}{2}) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} (k-1)(k-1)^{-1}=1 \end{eqnarray*}$ bleibt y übrig und wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} y=(2k+1)(-\frac{1}{2}- \frac{k}{2}) \end{eqnarray*}$

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