Reihenwert _Partialsumme

07.12.2010, 13:39

limit

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Reihenwert _Partialsumme

Meine Frage:
Hallo

ich habe folgende Aufgabenstellung:

Beweise, dass die folgende Reihe den angegebenen Wert hat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{3^{n-1}}= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich habe absolut keine Ahnung wie ich anfangen soll. Hat jemand eine Idee?

dankeschön smile

smile

07.12.2010, 13:40

system-agent

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Geometrische Reihe.

07.12.2010, 14:03

limit2

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also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^{k}=\frac{x^{n+1}-1 }{x-1} \end{eqnarray*}$

aber wie wende ich das auf meine formel an?

07.12.2010, 14:14

system-agent

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Indem du dich an die Potenzgesetze erinnerst und darauf achtest dass deine Summe anstatt bei $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ beginnt [also Indexverschiebung oder das wieder abziehen was zuviel ist].
Ausserdem ist deine angegebene Formel falsch.

07.12.2010, 15:01

limit2

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oh stimmt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^{k}=\frac{1-x^{n+1} }{1-x} \end{eqnarray*}$

jetzt richtig?

komm aber echt nicht drauf wie ich die werte auf $\begin{eqnarray*} x^{k} \end{eqnarray*}$ bring?

07.12.2010, 15:16

system-agent

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Das ist immernoch Unsinn unglücklich

unglücklich

. Was soll denn das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ dort zu suchen haben? Du hast doch eine unendliche Reihe, ein Grenzwert.

Und um das dann, nachdem du es richtig gestellt hast, auf deine ursprüngliche Reihe anwenden zu können, also nochmals: Potenzgesetze!!
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^{n-1}}=? \end{eqnarray*}$

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07.12.2010, 15:34

limit2

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n x^{k}=\frac{1-x^{n+1} }{1-x} \end{eqnarray*}$

hm

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^{n-1} } =(\frac{1^{\frac{1}{n-1} } }{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$

passt das?

07.12.2010, 15:47

system-agent

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Zitat:

Original von limit2
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n x^{k}=\frac{1-x^{n+1} }{1-x} \end{eqnarray*}$

Immernoch nein. Nochmals: Was hat dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ rechts verloren? Du kannst das doch auch mal bei Wikipedia nachlesen unglücklich

unglücklich

.

Zitat:

Original von limit2
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^{n-1} } =(\frac{1^{\frac{1}{n-1} } }{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Ja. Und die 1 mit diesem schrecklichen Exponenten ist einfach ... ?
Was also kannst du für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der geometrischen Reihe nutzen?

07.12.2010, 15:59

limit2

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Zitat:

Immernoch nein. Nochmals: Was hat dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ rechts verloren? Du kannst das doch auch mal bei Wikipedia nachlesen unglücklich

unglücklich

.

sorry ich komm nicht drauf unglücklich

unglücklich

Zitat:

Ja. Und die 1 mit diesem schrecklichen Exponenten ist einfach ... ?

oh 1 ...

Zitat:

Was also kannst du für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der geometrischen Reihe nutzen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ?

07.12.2010, 16:01

system-agent

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Es gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ .

07.12.2010, 16:11

limit2

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oh achso - danke smile

smile

und ich hab jetzt für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3} ) \end{eqnarray*}$ ?

und für k = n+1 wegen n=2?

also $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{3} )^{n+1} \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 16:13

system-agent

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Schreibe doch einfach
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k=1+\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k \end{eqnarray*}$ ,
das spart eine Indexverschiebung Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Edit:
Hoppala, da hab ich was übersehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ja, mache doch eine Indexverschiebung:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k=... \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 16:38

limit2

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k=...\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k+1} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-(\frac{1}{3})^{k+1}} \end{eqnarray*}$

stimmt nicht, oder?

07.12.2010, 16:42

limit2

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versteh grad nicht wie ich jetzt auf 1/2 kommen soll ...

07.12.2010, 16:45

system-agent

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Das kann ja so auch nicht stimmen. Die geometrische Reihe verlangt, dass der Exponent $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist und bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ anfängt zu laufen, ansonsten macht sie keine Aussage.

Es ist aber $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k \end{eqnarray*}$ .

07.12.2010, 16:55

limit2

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sorry ich versteh grad gar nichts mehr ... unglücklich

unglücklich

07.12.2010, 16:57

system-agent

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Zitat:

Original von system-agent
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k \end{eqnarray*}$ .

Die Summe die links steht kannst du ausrechnen. Rechts steht auch eine Summe und mit dem was du vorhin gesagt hast ist das genau diese Summe die du berechnen sollst.

07.12.2010, 17:01

limit2

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aber ich hab doch n=2 gegeben?

07.12.2010, 17:12

system-agent

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Zitat:

Original von limit2
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k \end{eqnarray*}$

Erinnerst du dich daran?

07.12.2010, 18:16

limit2

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ja aber ich versteh es irgendwie nicht...

also kann ich jetzt die summe berechnen und mit 1 addieren? aber dann komm ich doch niemals auf 1/2 ??

tut mir leid, aber ich komm grad echt nicht weiter

07.12.2010, 18:20

system-agent

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Nun fülle das Folgende mal aus:
$\begin{eqnarray*} ?=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k=1+?? \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} ? \end{eqnarray*}$ nutzt die das, was du über die geometrische Reihe weisst und bei $\begin{eqnarray*} ?? \end{eqnarray*}$ das, an das ich dich eben erinnert habe.

07.12.2010, 18:45

limit2

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Nun fülle das Folgende mal aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-(\frac{1}{3}) ^{k} } =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k=1+1/3\sum\limits_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 18:51

system-agent

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Ganz links, da hat kein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mehr was verloren unglücklich

unglücklich

.

Du hast doch oben gerade festgestellt, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k \end{eqnarray*}$
genau daselbe ist wie
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$ .
Nutze das um $\begin{eqnarray*} ?? \end{eqnarray*}$ auszufüllen.

08.12.2010, 17:23

limit2

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{3} } =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=1+\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k=1+\sum\limits_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1} \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

08.12.2010, 17:51

limit2

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..

08.12.2010, 18:14

system-agent

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Ja, das ist richtig. Damit ist die Aufgabe gelöst.

08.12.2010, 18:17

limit2

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also kann ich einfach

3/2 - 1 = 1/2

rechnen?

08.12.2010, 18:49

limit2

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auf jeden fall herzlichen dank smile

smile

ich glaub ich hab es verstanden smile

smile

08.12.2010, 20:08

system-agent

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Zitat:

Original von limit2
also kann ich einfach

3/2 - 1 = 1/2

rechnen?

Natürlich

smile

.

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