grenzwertberechnung

07.12.2010, 15:07

Sunny123

grenzwertberechnung

hey
ich hab da mal ne frage.
folgendes sei gegeben: n=2,3,4,....

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt{n} } +1 \end{eqnarray*}$ > $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

man soll nun mithilfe der ungleichung zeigen, dass lim $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ =1

also ich kann zeigen, dass der linke teil der ungleichung 1 als grenzwert hat und dass der rechte teil 1 als grenzwert hat. aber ich kann nicht das gefragte zeigen. ich weiß nicht, wie ich die ungleichung benutzen kann, um das rauszubekommen. wäre nett, wenn ihr mir helfen könnt.

eure sunny

07.12.2010, 15:11

Mazze

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Naja, zunächst einmal ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle n (ist dir das klar ?)

dann ist :

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \sqrt[n]{n} \leq \frac{2}{\sqrt{n}} + 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt bilde hier die Grenzwerte bezüglich n.

07.12.2010, 15:15

Sunny123

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hm....
also ich weiß, dass die zweite wurzel aus 2 größer als 1 ist. ich weiß nicht, ob mein prof dann will, dass ich zeige, dass es für die anderen n auch so ist. kann ich das irgendwie schön hinschreiben?

wenn ich mir dann diese beiden ungleichungen ansehe, die du aufgeschrieben hast, dann ist ja der lim 1=1 und der lim der rechten seite ist doch auch 1. somit muss der limes der mitte auch 1 sein. oder?

07.12.2010, 15:22

Mazze

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Zitat:

wenn ich mir dann diese beiden ungleichungen ansehe, die du aufgeschrieben hast, dann ist ja der lim 1=1 und der lim der rechten seite ist doch auch 1. somit muss der limes der mitte auch 1 sein. oder?

Absolut, das Ganze nennt man auch Sandwichkriterium, wenn

$\begin{eqnarray*} a_n \leq b_n \leq c_n \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} \lim a_n = \lim c_n \end{eqnarray*}$ , dann folgt

$\begin{eqnarray*} \lim a_n = \lim b_n = \lim c_n \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 15:25

Sunny123

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re
sandwichkriterium^^ wer hat sich das denn ausgedacht Big Laugh

kann ich noch irgendwie klar sagen, warum die nte wurzel aus n größer als 1 ist? ich würd meinem prof ja sagen, dass ich werte eingesetzt hab, aber ich glaub, dann haut der mit den kopf ab^^

07.12.2010, 15:26

Mazze

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Im Zweifel beweist Du es mit vollständiger Induktion.

edit:

Das mit dem Sandwich macht schon sinn. Du drückst von oben eine Scheibe Brot und von unten eine Scheibe Brot so fest zusammen, dass alles dazwischen irgendwie auch zum Brot gehört Big Laugh

07.12.2010, 15:33

Sunny123

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re
ok da häng ich schon.

induktionsanfang is klar.
induktionsschluss: n-->n+1:

dann steht da $\begin{eqnarray*} \sqrt[n+1]{n+1} \end{eqnarray*}$ wenn ich versuche das umzuformen, dann scheiter ich schon^^. ich muss das doch so umformen, dass ich irgendwann einen term habe, von dem ich ganz klar weiß, dass er >1 ist. aber da krieg ich nix hin unglücklich

07.12.2010, 15:36

Mazze

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[n+1]{n+1} \geq \sqrt[n+1]{n} = n^{\frac{1}{n+1}} = n^{\frac{1}{n} + c} \mathop{\geq}\limits_{n \geq 1} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 15:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{n} + c} \mathop{\geq}\limits_{n \geq 1} n^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung stimmt in meinen Augen nicht, denn es ist c < 0 und somit $\begin{eqnarray*} n^c < 1 \end{eqnarray*}$ .

07.12.2010, 15:45

Mazze

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Stimmt, wegen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

muss c < 0 sein. Hammer

07.12.2010, 15:46

Sunny123

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re
ich verstehe nur den letzten schritt nicht also dass n>1 ist. köntest du mir das erklären?

07.12.2010, 15:50

Mazze

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Vergiss meinen Post. Klarsoweit hat den Fehler in der Argumentation gezeigt. Man kanns auch einfach so zeigen :

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \geq 1 \Leftrightarrow \sqrt[n]{n}^n \geq 1^n \Leftrightarrow n \geq 1 \end{eqnarray*}$

fertig. Die Äquivalenz gilt, da beide Seiten größer 0 sind.

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