Quaternionengruppe

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18.11.2006, 20:28	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Quaternionengruppe Hallo zusammen, ich suche eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} S_8 \end{eqnarray}$ (der symmetrischen Gruppe auf 8 Ziffern), die Isomorph zur Quaternionengruppe ist. Kann mir da jemand helfen? (Diese Untergruppe müsste nach dem Satz von Caley existieren) ich hab schon mit Zykeln herumexperimentiert, aber es kommt nicht hin... mfG 20
18.11.2006, 22:24	irre.flexiv@not@home	Auf diesen Beitrag antworten »
Guck dir mal die Ordnungen der Element der Quaternionengruppe an. Such dir dann einfach die passenden Elemente von $\begin{eqnarray} S_8 \end{eqnarray}$ zusammen.
19.11.2006, 13:51	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Quaternionengruppe wird von Matrizen erzeugt, genauer gesagt von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}i & 0 \\ 0 & -i\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese beiden Elemente haben in der Gruppe die Ordnung 4. reicht es jetzt, wenn ich in $\begin{eqnarray} S_8 \end{eqnarray}$ zwei Elemente finde, die die Ordnung 4 haben, erzeugen die dann schon die ganze Untergruppe von $\begin{eqnarray} S_8 \end{eqnarray}$ ? mfG 20
19.11.2006, 19:13	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee reicht noch nicht. Alle Elemente außer $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -E \end{eqnarray}$ müssen Ordnung 4 haben. Außerdem muss für $\begin{eqnarray} I,J,K \not = E,-E : IJ = K = -JI \end{eqnarray}$ erfüllt sein.
20.11.2006, 09:19	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist mir eigentlich alles klar, aber ich finde diese Elemente nicht... ich hab schon mit ziemlich vielen Permutationen rumprobiert... mfg 20
20.11.2006, 13:30	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
E = (1) -E = (12)(34)(56)(78) I = (1324)(5768) -I = (1423)(5867) Jetzt ist schonmal I² = -E und (-I)°(I) = E erfüllt. Jetzt gehts ziemlich kanonisch weiter wenn man sich -E so anschaut. Findest du noch die übrigen? Edit: Kleine Korrektur: I = (1324)(5867) -I = (1423)(5768) sonst funktionierts nicht.
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20.11.2006, 14:41	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs jetzt etwas anders gemacht: (Tipp von nem Kumpel ) Ich habe alle Matrizen durchnummeriert, und dann auf diesen Nummern die Permutationen gebildet, hat auch geklappt.. Danke trotzdem. mfG 20
20.11.2006, 14:57	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Das funktioniert? Und wie kommt man so auf die Zykelschreibweise?
20.11.2006, 20:43	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gruppe besteht aus 8 Elementen (8 Matrizen) Die Einheitsmatrix geht auf die Identität (klar) Jetzt nummeriert man einfach die Matrizen durch und nimmt sich eine raus, z.B. die 5. Dann erhält man die passende Permutation, indem man alle Matrizen an die 5. dranmultipliziert (entweder immer von links oder immer von rechts), und jeweils guckt was herauskommt. Wenn z.B. die 1. Matrix an die 5. heranmultipliziert die 3. ergibt, macht man danach mit der 3. weiter, danach z.B. mit der 4., die geht dann auf die 7. und die dann auf die erste. man erhält (1, 3, 4, 7). jetzt muss man noch mit den restlichen matrizen weitermachen (hier entsteht dann noch ein zykel) und so bekommt man das gesamte 5. element in zykelschreibweise... Ich bin allerdings noch nicht ganz sicher, warum das ganze so klappt, aber es funktioniert auf jeden fall. mfG 20
20.11.2006, 23:19	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Gar nicht schlecht der Trick Das Ganze funktioniert immer dann wenn das Produkt der Matrizen ein Element der Ordnung 4 ergibt. Aber da die meisten ja sowieso Ordnung 4 haben ist das kein Problem.

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