Konvergenz von Reihen

07.12.2010, 16:56

alex2007

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Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
Begründen sie die Konvergenz folgender Reihen:

a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n} \begin{pmatrix} 3n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5 + n^2 - 1}} \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\sqrt[n]{n} -1)^n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n} \begin{pmatrix} 3n \\ n \end{pmatrix} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n} \cdot \frac {(3n)!} {n! \cdot (2n)!} \end{eqnarray*}$

Ich sehe mir den Binomialkoeefizenten näher an und schätze diesen gegen etwas "besser durchschaubares" ab.
also:

$\begin{eqnarray*} \frac {(3n)!} {n! \cdot (2n)!} \geq 2^n \end{eqnarray*}$ (ergibt sich durch kürzen leicht)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^n}{7^n} \leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n} \cdot \frac {(3n)!} {n! \cdot (2n)!} \end{eqnarray*}$

Laut Minorantenkriterium folgt:

Da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^n}{7^n} \end{eqnarray*}$ konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n} \cdot \frac {(3n)!} {n! \cdot (2n)!} \end{eqnarray*}$ konvergent

b) Hier würde ich versuchen mit dem Quotientenkriterium zu argumentieren.

Wenn ein C<1 und ein Index N existiert, sodass für alle n>=N gilt:

$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} | \leq C \end{eqnarray*}$

Einsetzen und Kürzen ergibt letztendlich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt {\frac {n} {n+1}} \leq C <1 \end{eqnarray*}$

Da diese Ungleichung für alle n erfüllt ist, folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ konvergent

Stimmt die Herangehensweise erstmal?

Welches Tipps könnt ihr mir für c) und d) geben?

Danke

07.12.2010, 17:15

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von alex2007
Laut Minorantenkriterium folgt:

Da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2^n}{7^n} \end{eqnarray*}$ konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n} \cdot \frac {(3n)!} {n! \cdot (2n)!} \end{eqnarray*}$ konvergent

Du brauchst keine konvergente Minorante, sondern Majorante!

Zitat:

Original von alex2007
Einsetzen und Kürzen ergibt letztendlich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt {\frac {n} {n+1}} \leq C <1 \end{eqnarray*}$

Da hast du das Kriterium falsch verstanden. Es ist zwar $\begin{eqnarray*} \sqrt {\frac {n} {n+1}} < 1 \end{eqnarray*}$ , aber es gibt kein C < 1, so daß $\begin{eqnarray*} \sqrt {\frac {n} {n+1}} \leq C \end{eqnarray*}$ ist für fast alle n aus N.

Bei c kannst du eine konvergente Majorante finden.

08.12.2010, 01:22

alex2007

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RE: Konvergenz von Reihen
Ok logisch. Minorantekriterium bezieht sich auf Divergenz.

Ok, dann suche ich also eine Majorante. Aber wie finde ich die am besten. Also was empfielst du mir als Vorgehensweise um schnell einen Term zu finden? Ich meine 1/n wäre beispielsweise ein Term. Allerdings ist die harmonische Reihe ja nicht konvergent!

08.12.2010, 09:31

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen
Ich denke, bei Aufgabe a ist das Quotientenkriterium besser geeignet als die Suche nach einer konvergenten Majorante.

08.12.2010, 11:24

René Gruber

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Die Teilaufgaben sind schön ausbalanciert, dass man mit genau einmal Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- sowie Majorantenkriterium gut zum Ziel kommt - aber nicht notwendig in genau dieser Reihenfolge bei a)-d). Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.12.2010, 20:50

sady26

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sady26
Hey,
A propos Konvergenz von Reihen:

Wie kann ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{a} } \end{eqnarray*}$ für a<=1 divergiert und für a>1 konvergiert?

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08.12.2010, 20:51

Iorek

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Hier hilft das schöne Cauchysche Verdichtungskriterium. smile

smile

08.12.2010, 21:16

sady26

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jaaaaaa, top antwort danke schön

10.12.2010, 00:55

alex2007

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RE: Konvergenz von Reihen
a) Quotientenkriterium: $\begin{eqnarray*} \exists C<1, n_{0} \in \mathbb N: | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | \leq C \forall n\geq n_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{1}{7^n} \cdot \frac {(3n)!} {n! \cdot (2n)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}= \frac{1}{7\cdot7^n} \cdot \frac {(3n+3)!} {(n+1)! \cdot (2n+2)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1} }{a_{n} }| = \frac{1}{7\cdot7^n} \cdot \frac {(3n+3)!} {(n+1)! \cdot (2n+2)!} \cdot \frac {7^n\cdot n! \cdot (2n)!} {(3n)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1} }{a_{n} }| = \frac{1}{7} \cdot \frac {(3n+1)(3n+2)(3n+3)} {(n+1)(2n+1)(2n+2)} = \frac {(3n+1)(3n+2) \cdot 3} {(n+1)(2n+1) \cdot 14} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1} }{a_{n} }| = \frac {27n^2+27n+6}{28n^2+42n+14} \leq C<1 \end{eqnarray*}$

Hier sieht man, dass offensichtlich die Ungleichung für alle n erfüllt ist. Deswegen setze ich n_0=1 und errechne damit mein C:

C=5/7

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Für C=5/7 und n_0 =1 ist das Quotientenkriterium erfüllt

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Reihe ist konvergent

ist das so richtig?

10.12.2010, 01:12

alex2007

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RE: Konvergenz von Reihen
b) Leibnitzkriterium:

Eine Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_{n} \end{eqnarray*}$ heißt alternierend. Sie konvergiert, wenn die Folge a_n monoton fallend ist und gegen 0 konvergiert.

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac {1}{\sqrt {n}} \end{eqnarray*}$

Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} =0 \end{eqnarray*}$ (*)

Monotonie:

$\begin{eqnarray*} a_{n}\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ (für monoton fallend)

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt {n}} \geq \frac {1}{\sqrt {n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n+1 \geq n \end{eqnarray*}$ wahre Aussage für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (**)

(*) und (**) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Leibnitzkriterium erfüllt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Reihe ist konvergent

korrekt?

10.12.2010, 01:31

alex2007

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RE: Konvergenz von Reihen
c) Majorantenkriterium:

Wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert und für alle n, $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq | b_{n}| \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist auch die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty b_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent.

Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} b_{n}= \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n^5+n^2-1}} \leq \frac{n+1}{\sqrt{n^5+n^2-1}} \leq \frac{n+1}{\sqrt{n^5}}=a_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ ist konvergent und $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq | b_{n}| \forall n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Majorantenkriterium erfüllt

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Reihe ist konvergent

stimmt das?

10.12.2010, 01:50

alex2007

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RE: Konvergenz von Reihen
d) Wurzelkriterium: $\begin{eqnarray*} \exists C<1, n_{0} : \sqrt[n]{|a_{n}|} \leq C \forall n\geq n_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_{n}|}= \sqrt[n]{n} - 1 <1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n<2^n \end{eqnarray*}$

auch das gilt offensichtlich wieder für alle n, also wählen wir wieder n_0=1 und errechnen uns daraus C:

C=0

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ für C = 0 und n_0=1 ist das Wurzelkriterium erfüllt

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Reihe kovergiert.

Richtig so?

10.12.2010, 10:15

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von alex2007
$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{n+1} }{a_{n} }| = \frac {27n^2+27n+6}{28n^2+42n+14} \leq C<1 \end{eqnarray*}$

Hier sieht man, dass offensichtlich die Ungleichung für alle n erfüllt ist. Deswegen setze ich n_0=1 und errechne damit mein C:

C=5/7

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Für C=5/7 und n_0 =1 ist das Quotientenkriterium erfüllt

Hier argumentierst du durch die Brust ins Auge: Erst sagst du, daß die Ungleichung (warum auch immer) für alle n erfüllt ist. Dann fällt dir auf: hoppla, aber ich weiß gar nicht, welchen Wert ich für C nehmen muß. Also nehmen wir einfach mal n=1 und das ist dann mein C.

Dummerweise ist nur $\begin{eqnarray*} \frac {27n^2+27n+6}{28n^2+42n+14} > \frac 5 7 \end{eqnarray*}$ für n >= 2.

Zitat:

Original von alex2007
d) Wurzelkriterium: $\begin{eqnarray*} \exists C<1, n_{0} : \sqrt[n]{|a_{n}|} \leq C \forall n\geq n_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_{n}|}= \sqrt[n]{n} - 1 <1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n<2^n \end{eqnarray*}$

auch das gilt offensichtlich wieder für alle n, also wählen wir wieder n_0=1 und errechnen uns daraus C:

C=0

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ für C = 0 und n_0=1 ist das Wurzelkriterium erfüllt

Auch das ist von der Methodik wieder Unfug. Wenn du C=0 nimmst, wirst du feststellen, daß $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \sqrt[n]{n} - 1 > 0 \end{eqnarray*}$ ist für n>=2.

Besser ist die Überlegung, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\sqrt[n]{n} - 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist und es somit ein C < 1 geben muß, so daß $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} - 1 < C \end{eqnarray*}$ ist für fast alle n aus N.

10.12.2010, 11:05

alex2007

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RE: Konvergenz von Reihen
Dachte ichs mir doch, dass ich das so nicht stehen lassen kann. Aber wie komm ich dann bei dem Quotientenkriterium auf mein C? Muss ich den Term abschätzen, mit etwas das definitiv größer ist und das dann C setzen und schauen wie n sein muss, damit dieses c <1???

Wie berechne ich mein C nun wenn der limes gleich 0 sein soll bei d)?

Ist mir noch etwas schleierhaft verwirrt

verwirrt

verwirrt

10.12.2010, 14:21

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen
Erstmal vorweg: es ist nicht erforderlich, daß du ein konkretes C angeben mußt. Du mußt nur die Existenz eines derartigen C mit 0 < C < 1 nachweisen.
Praktischerweise macht man dazu folgendes:

Man bildet beispielsweise beim Quotientenkriterium den Grenzwert $\begin{eqnarray*} g := \lim_{n \to \infty}~|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ . Wenn g < 1 ist, kannst du $\begin{eqnarray*} C = \frac{g+1}{2} \end{eqnarray*}$ nehmen.

11.12.2010, 11:39

alex2007

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RE: Konvergenz von Reihen
Ok, das klingt eigentlich logisch das mit dem grenzwert. wenn ich nun aber weis, das der grenzwert 27/28 ist, reicht es dann nicht einfach irgendetwas zu nehmen, was kleiner ein und größer als dieser grenzwert ist, also beispielsweise 29/30?
Weil du sagtest man soll "nur nachweisen" das so ein C existiert. Würde es also reichen den Grenzwert des Quotientenkriterims anzugeben und wenn der kleiner eins ist, dann muss man nur ein C wählen, das zwischen 1 und diesem grenzwert liegt?
Damit wäre ja gezeigt, dass ab einem gewissen n ein solches n existiert. oder?

Danke für deine Geduld

11.12.2010, 11:52

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen
Richtig. Das ist der grundlegende Gedanke.

12.12.2010, 19:48

alex2007

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von klarsoweit
Richtig. Das ist der grundlegende Gedanke.

Ok, ich danke dir. Hab ich jetzt also verstanden. DIe anderen beiden Lösungen waren so formal korrekt?

13.12.2010, 09:42

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Reihen
Aufgaben b und c stimmen, wobei du bei c keine Begründung angegeben hast, warum die Reihe über a_n konvergent sein soll.

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