Z3-Vektorraum

Neue Frage »

07.12.2010, 18:00	Beginnerboy	Auf diesen Beitrag antworten »
Z3-Vektorraum Meine Frage: Hey Leute! Meine Aufgabe lautet: Geben Sie eine Basis des Z3-Vektorraumes Abb(X; Z3) an. Meine Ideen: Meine Frage wäre nur, welche Elemente so ein Z3-Vektorraum Abb(X, Z3) enthält. Z3=0,1,2 aber mit dem Abb(X, Z3) komme ich nicht klar. Ansonsten muss ich ja nur die lineare unabhängigkeit und das erzeugendensystem nachweisen oder? Danke schonmal!
07.12.2010, 19:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was soll $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ sein? Eine beliebige Menge? Oder vielleicht nur eine abzählbare oder gar endliche?
07.12.2010, 19:17	Beginnerboy	Auf diesen Beitrag antworten »
ach das hab ich glatt überlesen^^ X ist eine zweielementige Menge.
07.12.2010, 19:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und damit kommst du erst jetzt! Ist dir klar, daß ein Paar $\begin{eqnarray} (a_1,a_2) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1,a_2 \in \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ nichts anderes ist als eine Funktion $\begin{eqnarray} a: \ \{ 1,2 \} \to \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ ? Und ob du jetzt die Koordinaten mit $\begin{eqnarray} 1,2 \end{eqnarray}$ numerierst oder mit etwas anderem, ist dann auch egal.
07.12.2010, 19:35	Beginnerboy	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry hab ich auch für mich selbst auch überlesen gehabt, jetzt ergibt die aufgabe auch mehr sinn^^ ja das war mir halbwegs klar aber in bezug auf die aufgabe stehe ich immernoch auf dem schlauch..
07.12.2010, 19:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ zweielementig ist, dann ist $\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(X,\mathbb{Z}_3) \end{eqnarray}$ nichts anderes als $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3^{\, 2} \end{eqnarray}$ , nur daß die Koordinaten eines Paares eventuell nicht mit $\begin{eqnarray} 1,2 \end{eqnarray}$ , sondern mit den Elementen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ numeriert werden. Nehmen wir $\begin{eqnarray} X = \{ u,v \} \end{eqnarray}$ . Dann ist doch eine Abbildung $\begin{eqnarray} a: \ X \to \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ bekannt, sobald die Werte für die Argumente $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ feststehen. Zum Beispiel die Abbildung $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a(u) = 2, \, a(v) = 1 \end{eqnarray}$ Diese Abbildung kann man aber auch so schreiben: $\begin{eqnarray} a_u = 2, \, a_v = 1 \end{eqnarray}$ . Man macht einfach die Argumente zu Indizes. Und wenn man sich nun auf die Reihenfolge, erst das Argument von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ , dann das von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ zu nennen, verständigt, kann man die Abbildung noch kürzer als Paar $\begin{eqnarray} a = (2,1) \end{eqnarray}$ schreiben.
Anzeige

07.12.2010, 20:07	Beginnerboy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(X,\mathbb{Z}_3) \end{eqnarray}$ sei also $\begin{eqnarray} X = \left\{ x_1,x_2 \right\} \end{eqnarray}$ dann existieren z.B. Abbildungen, f,g, sodass z.B. f(x1)=1, f(x2)=2 und g(x1)=0, g(x2)=2, wobei die sich ergebenden werte immer $\begin{eqnarray} \in \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ . tut mir leid stehe aufm schlauch, wievielelementig ist $\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(X,\mathbb{Z}_3) \end{eqnarray}$ denn dann?
07.12.2010, 20:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, für $\begin{eqnarray} f(x_1) \end{eqnarray}$ hast du drei Möglichkeiten, für $\begin{eqnarray} f(x_2) \end{eqnarray}$ auch. Damit gibt es genau $\begin{eqnarray} 3^2=9 \end{eqnarray}$ mögliche Abbildungen. Das ist elementare Kombinatorik. Aber danach ist ja nicht gefragt. Sondern du sollst jetzt aus den 9 Abbildungen solche herausfischen, die eine Basis des Vektorraumes bilden. Die Abbildungen $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p(x_1) = 2 \, , \ \ p(x_2) = 1 \, ; \ \ \ q(x_1) = 1 \, , \ \ q(x_2) = 2 \end{eqnarray}$ etwa wären nicht geeignet. Denn es besteht die nichttriviale Beziehung $\begin{eqnarray} p + q = 0 \end{eqnarray}$ . Damit sind $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ linear abhängig. Jetzt suche zwei Abbildungen, die linear unabhängig sind und den Vektorraum der Abbildungen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray}$ erzeugen. Denke dir etwas möglichst Einfaches aus.
07.12.2010, 20:53	Aufmschlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn f(x1)=2 und f(x2)=2 wären, dann ist f(x1)+f(x2) = 1 und sie sind linear unabhängig? geht das?
07.12.2010, 20:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du addierst hier zwei Funktionswerte derselben (!!) Funktion. In diesem Zusammenhang ist das keine sinnvolle Operation. Es geht um die Funktionen als Objekte. Das sind hier die "Vektoren".
07.12.2010, 21:03	Beginnerboy	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn wie in deinem beispiel $\begin{eqnarray} p(x_1) = 2 \, , \ \ p(x_2) = 1 \, ; \ \ \ q(x_1) = 1 \, , \ \ q(x_2) = 2 \end{eqnarray}$ dann ist p(x1)+ q(x2) linear unabhängig?
07.12.2010, 21:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh je! Diese Fragen deuten darauf hin, daß es hier an den Grundlagen fehlt. Lineare Unabhängigkeit oder lineare Abhängigkeit ist eine Eigenschaft einer Menge von Vektoren (die Vektoren sind hier die Funktionen) und nicht die Eigenschaft einer Gleichung oder so etwas. Du kannst also nur sagen: Die Funktionen ... sind linear (un)abhängig. Alles andere ist sinnlos.
07.12.2010, 21:22	Beginnerboy	Auf diesen Beitrag antworten »
ne ich weiß was lineare unabhängigkeit ist, nämlich dass z.B. mit $\begin{eqnarray} \lambda_{1}a +\lambda_{2}b = 0 \end{eqnarray}$ folgen muss, dass $\begin{eqnarray} \lambda_{1} = \lambda_{2} = 0 \end{eqnarray}$ aber ich steh grad wie du merkst bezüglich dieser aufgabe auf dem schlauch^^...
08.12.2010, 19:42	Beginnerboy	Auf diesen Beitrag antworten »
need help.. :/

Neue Frage »

Antworten »

Z3-Vektorraum

Verwandte Themen