Basen - Seite 2

08.12.2010, 14:13

ines89

i hab e zusammengefasst und es kommt - $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ 2ta- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ 2tb raus....

08.12.2010, 14:30

system-agent

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Nein, du hast es nicht zusammengefasst. Du willst doch an den Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kommen, also klammerst du eben $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ aus.
Das liefert
$\begin{eqnarray*} t(-2\lambda_1a-2\lambda_2b) \end{eqnarray*}$
und daher ist der Koeffizient
$\begin{eqnarray*} (-2\lambda_1a-2\lambda_2b) \end{eqnarray*}$ .

Der konstante Koeffizient ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1a^2+\lambda_2b^2+\lambda_3 \end{eqnarray*}$ .

Nun hast du also die beiden Polynome
$\begin{eqnarray*} d_2t^2+d_1t+d_0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)t^2+(-2\lambda_1a-2\lambda_2b)t+(\lambda_1a^2+\lambda_2b^2+\lambda_3) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt war die Frage bei welchen Werten von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ man eindeutig Zahlen $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ finden kann derart, dass die obigen zwei Polynom gleich sind.

Also was muss gelten dass sie gleich sind? Das liefert 3 Gleichungen mit Unbekannten $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ . Welche? Wann kann man diese 3 Gleichungen eindeutig nach $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ lösen?

08.12.2010, 14:52

ines89

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was mus gelten? Die Koeffizienten müssen gleich sein.

und die 3 gleichungen lauten dann:
$\begin{eqnarray*} d_2t²=(\lambda_1+\lambda_2 \end{eqnarray*}$ )t²
$\begin{eqnarray*} d_1t=(-2\lambda_1a-2\lambda_2b \end{eqnarray*}$ )t
$\begin{eqnarray*} d_0=\lambda_1a²+\lambda_2b²+\lambda_3 \end{eqnarray*}$

08.12.2010, 15:08

system-agent

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Ja, die Koeffizienten müssen gleich sein, das heisst du schreibst da keine $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ 's mehr.

Also sind deine drei Gleichungen
$\begin{eqnarray*} d_2=\lambda_1+\lambda_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_1=-2\lambda_1a-2\lambda_2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_0=\lambda_1a²+\lambda_2b²+\lambda_3 \end{eqnarray*}$

Hast du das nun wirklich verstanden?

Nun beantworte die Frage nach der eindeutigen Lösbarkeit um die Aufgabe zu lösen.

08.12.2010, 15:13

ines89

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ja jetzt hab ich verstanden...hab mir den ganzen Vorgang nocheinmal angeschaut....

Eindeutig lösbar sind die Gleichungen wenn Koeffizienten/Unbekannten ungleich 0 sind.

08.12.2010, 16:12

ines89

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wie haben ein fehler gemacht und zwar:
wir haben geschriben:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ *(t-a)²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ (t-b)²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

es soll aber das stehen:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ *(t-a)²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ (t-b)+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

Also wenn ich das ausmultipliziere, ausklammere kommt das raus:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ t²-2 $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ ta+ $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ a²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_s \end{eqnarray*}$ t- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ b+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

dann hab ich t ausgeklammert:
t²* $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ +t*( $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ -2a+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ )+(a²- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ b+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ )

also krieg ich 3 gleichungen raus:
$\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ =-2 $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ a+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_0 \end{eqnarray*}$ =a²- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ b+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

ist das jetzt so richtig?

und frage war: ist er richtig dass für jedes a,b gilt das {(t-a)²,(t-b),1} eine basis für $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ oder gibt es ausnahmewerte?

Eindeutig lösbar sind die gleichungen wenn Koeffizienten / Unbekannten ungleich 0 sind.

08.12.2010, 18:27

system-agent

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Zitat:

Original von ines89
Eindeutig lösbar sind die Gleichungen wenn Koeffizienten/Unbekannten ungleich 0 sind.

Das ist ziemlicher Unsinn. Es geht nicht um die Unbekannten $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ , sondern die sind nur ein Hilfmittel um zu entscheiden für welche Kombinationen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die drei Vektoren den ganzen Raum aufspannen.
Und wenn man das ordentlich löst, dann erhält man dass das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} d_2=\lambda_1+\lambda_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_1=-2\lambda_1a-2\lambda_2b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_0=\lambda_1a²+\lambda_2b²+\lambda_3 \end{eqnarray*}$

genau dann eindeutig nach $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ lösbar ist, falls $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ . Das zeigt dann übrigens erst, dass in diesem Fall der Raum $\begin{eqnarray*} P_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ von den drei Vektoren aufgespannt wird. Die lineare Unabhängigkeit muss man noch überprüfen.

Aber OK, das war alles noch zu dem mit dem Fehler.

Ausgeklammert hast du übrigens auch falsch. Es kommt
$\begin{eqnarray*} \lambda_1t^2+(-2\lambda_1a+\lambda_2)t+(\lambda_1a^2-\lambda_2b+\lambda_3) \end{eqnarray*}$
heraus.

Als Gleichungen erhälst du dann
$\begin{eqnarray*} d_2=\lambda_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_1=-2\lambda_1a+\lambda_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d_0=\lambda_1a^2-\lambda_2b+\lambda_3 \end{eqnarray*}$ .

Nun wieder die Frage: Für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ kann man dieses Gleichungssystem eindeutig nach $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ lösen?
Das zeigt dann wieder, für welche Wahlen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Vektoren
$\begin{eqnarray*} (t-a)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t-b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ den Raum $\begin{eqnarray*} P_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ aufspannen.
Die lineare Unabhängigkeit musst du separat untersuchen.

08.12.2010, 18:34

ines89

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soll ich jetzt zuerst die 3 gleichungen lösen?
bzw. wie kann ich sehen was ich für a und b einsetzten darf/kann

08.12.2010, 20:09

system-agent

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Schreibe das Zeugs eben in Matrizenform und schaue, wann die Matrix invertierbar ist.

08.12.2010, 20:32

ines89

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in matrixform schaut dann das so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &d_2\\ -2 & 1 & 0&d_1 \\ 1 & -1 &1&d_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab ich das richtig gemacht

08.12.2010, 21:01

system-agent

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Du hast hier gewisse $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ unterschlagen.

08.12.2010, 21:12

ines89

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aja...einfach a u b auch dazunehmen...also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&d_2 \\ -2a & 1 & 0&d_1 \\ a² & -1 & 1&d_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.12.2010, 06:44

ines89

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muss ich das jetzt mit hilfe d. Gauss ellimination in ZSF bringen und dann lösen falls es geht?

09.12.2010, 11:41

system-agent

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Du hast immernoch ein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vergessen unglücklich

. Arbeite doch ein wenig sorgfältiger, dann ersparst du dir viel zusätzliche Arbeit und Fehler.

Ich habe dir gesagt du musst überprüfen für welche Werte von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ das LGS lösbar ist.
Ja, die Zeilenstufenform ist eine gute Idee, und wenn du nun ein wenig scharf hinsiehst, dann sollte dir was auffallen.

09.12.2010, 12:12

ines89

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hab versucht die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&d_2 \\ -2a & 1 & 0&d_1\\ a² & -b & 1&d_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in ZSF zu bringen schaff i aber irgendwie nicht...

Edit von lgrizu: Latex korrigiert

09.12.2010, 12:43

system-agent

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Dann solltest du mal überlegen was du genau gemacht hast. Die Matrix die du aufgestellt hast ist die erweiterte Koeffizientenmatrix. Was bedeutet dort Zeilenstufenform?
Und wenn du darüber nachgedacht hast, dann schau dir die gegebene Matrix mal ganz genau an.

09.12.2010, 12:45

ines89

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i kann sehen dass es sich um eine Diagonalmatrix handelt, weil sind in d. Hauptdiagonale nur 1 befinden.

09.12.2010, 12:53

system-agent

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Und was bedeutet das in Bezug auf ZSF?

Übrigens spricht man hier nicht von einer "Diagonalmatrix" [so eine Matrix hat man, wenn nur die Hauptdiagonale Einträge ungleich Null enthält]. Vielmehr ist das eine sogenannte "untere Dreiecksmatrix".

09.12.2010, 13:06

ines89

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ich weiss nicht welchen Bezug das auf ZSF hat....hab versucht Bezug zu finden bin aber gescheitert

09.12.2010, 14:20

system-agent

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Das Ding ist doch schon in ZSF.

09.12.2010, 14:23

ines89

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ok,also ZSF....und was muss ich dann noch machen, damit ich den Beispiel endlich fertig hab

09.12.2010, 14:26

system-agent

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Du solltest damit anfangen die Fragen der Aufgaben zu beantworten.

Für welche $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ sind die angegebenen Polynome eine Basis von $\begin{eqnarray*} P_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ .
Bisher haben wir immer nur versucht etwas zur Erzeugendeneigenschaft zu tun.
Falls du also jetzt sagst für welche $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ diese drei Vektoren den ganzen Raum erzeugen, dann solltest du noch überprüfen ob sie linear unabhängig sind.

09.12.2010, 14:32

ines89

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muss ich jetzt zuerst a und b ausrechnen,
soll ich das mit hilfe d. matrix ausrechnen?
I weiss nicht wie ich das ausrechnen soll....

sorry dass ich so viel nachfrage, kenn mich aber leider net damit aus und muss morgen die beispiele abgeben....

09.12.2010, 14:39

system-agent

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Tja dann würde ich dir vornehmlich ersteinmal raten einerseits die Grundlagen aus der Schule nochmal anzuschauen und dann nochmal den Inhalt der Vorlesung.

Also nochmal:
Die Frage für welche $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ die drei vektoren den ganzen Raum erzeugen ist gerade die Frage danach, für welche $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ die obigen Gleichungen nach $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ lösbar sind.
Begründung: Siehe die ganzen Beiträge vorher.

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