Basen

07.12.2010, 18:09

ines89

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Basen

Ist es richtig dass für jedes a, b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, dass {(t-a)²,(t-b)²,1} eine Basis für P2 ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ), oder gibt es Ausnahmen?

Wie kann ich das erklären, beweisen??

07.12.2010, 18:18

system-agent

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Du meinst mit $\begin{eqnarray*} P_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ die Menge aller Polynome vom Grad höchstens 2?

07.12.2010, 18:29

ines89

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jops...glaub schon...so steht zumiendest in beispiel drinen

07.12.2010, 18:34

system-agent

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Na du musst doch wissen was ihr definiert habt.

Damit es eine Basis sein kann, musst du zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist und danach, dass die drei Elemente linear unabhängig sind.

07.12.2010, 18:36

ines89

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und wie soll ich das zeigen??? wie kann ich zeigen das es ein erzeugendesystem ist und elemente lin unabhängig sind?

Was soll ich konkret machen...?
danke

07.12.2010, 18:38

system-agent

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Wie sieht denn ein typisches Element aus $\begin{eqnarray*} P_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ aus? Dann musst du dir überlegen, ob du jedes solche Element durch eine Linearkombination deiner drei Vektoren kriegen kannst.

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07.12.2010, 18:45

ines89

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und wie sieht ein typisher element aus??? bin derzeit bissi verwirrt und aber leider beispiele rechnen und die dann abgeben...

07.12.2010, 18:51

system-agent

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Wie sieht denn ein typisches quadratisches Polynom aus?

07.12.2010, 18:53

ines89

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ax²+bx+b...oder?

07.12.2010, 18:57

system-agent

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Ja, ganz genau. Und um jetzt die Verwechslung zu vermeiden schreiben wir lieber
$\begin{eqnarray*} p(t)=d_2x^2+d_1x+d_0 \end{eqnarray*}$ .

Angenomen wir haben nun also ein festest solches $\begin{eqnarray*} p(t) \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass du dann Zahlen $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ finden kannst derart, dass
$\begin{eqnarray*} \lambda_1(t-a)^2+\lambda_2(t-b)^2+\lambda_3=p(t) \end{eqnarray*}$ .

07.12.2010, 19:15

ines89

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und wie kann ich dann das lösen...mit lin gleichungssystem net....da ich eine gleichung mit 3 unbekannten habe....

nehmen wir an p(t)=4...also ist konstant...jetzt muss ich dann $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1,2,3 ausrechnen...also
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1(t-a)²+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2(t-b)²+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 3=4 ?
soll nicht statt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2(t-b)² nur $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2(t-b) stehen?

07.12.2010, 19:21

system-agent

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Wieso fängst du denn auf einmal mit Beispielen an? Wenn $\begin{eqnarray*} p(t) \end{eqnarray*}$ fest sein soll, dann bedeutet das, dass $\begin{eqnarray*} d_0,d_1,d_2 \end{eqnarray*}$ feste Werte haben sollen.

Also ist
$\begin{eqnarray*} d_2x^2+d_1x+d_0=\lambda_1(t-a)^2+\lambda_2(t-b)^2+\lambda_3 \end{eqnarray*}$
zu lösen. Natürlich sind hier dann auch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ fest.
Um anzufangen könnte man die Klammern auflösen...

07.12.2010, 19:33

ines89

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wenn ich die klammern auflöse kommt das raus:
$\begin{eqnarray*} d_2x²+d_1x+d_0=\lambda_1 \end{eqnarray*}$ (t"-2ta+a²)+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ (t²-2tb+b²)+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

es bringt nix wenn ich jetzt das ausmultipliziere....so sind $\begin{eqnarray*} \lambda_1,_2,_3 \end{eqnarray*}$ herausgehoben

und wie soll ich weiter vorgehen?

07.12.2010, 19:39

system-agent

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Hoppala, da hab ich dummerweise ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geschrieben anstatt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

Nein, die Lambdas heben sich nicht heraus. Und ja, es bringt was es auszumultiplizieren. Der Witz ist doch folgender:
Falls das eine Basis bildet was du da oben gegeben hast, dann kann man zu jeder Wahl der $\begin{eqnarray*} d_0,d_1,d_2 \end{eqnarray*}$ eindeutig $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ finden derart, dass
$\begin{eqnarray*} d_2t^2+d_1t+d_3=\lambda_1(t-a)^2+\lambda_2(t-b)^2+\lambda_3 \end{eqnarray*}$
richtig ist.

Die Frage ist nun:
Geht das für jede Wahl von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ? Falls nein, für welche geht es? Du wirst finden, dass es genau dann geht, wenn $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ ist.

07.12.2010, 19:46

ines89

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und d_1,d_2,d_3 kann ich a beliebig wählen genau oder soll i d so lassen und keine zahlen schreiben?

wenn ich das was ich jetzt hab ausmultipliziere kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ 2ta+ $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ a²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ 2tb+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ b²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 19:52

system-agent

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Zitat:

Original von ines89
und d_1,d_2,d_3 kann ich a beliebig wählen genau oder soll i d so lassen und keine zahlen schreiben?

Wenn ich das verstehen soll musst du schon vollständige Sätze schreiben.

Zitat:

Original von ines89
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ 2ta+ $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ a²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ 2tb+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ b²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

Ja. Und dies soll also gleich sein mit $\begin{eqnarray*} d_2t^2+d_1t+d_0 \end{eqnarray*}$ . Damit zwei Polynome gleich sind, müssen die Koeffizienten gleich sein.
Damit kriegst du 3 Gleichungen. Welche?

07.12.2010, 20:00

ines89

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3 Gleichungen???
hmm mein Vorschlag wäre

$\begin{eqnarray*} d_2x²=\lambda_1 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ 2ta+ $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ a²

$\begin{eqnarray*} d_1x=\lambda_2 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ 2tb+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ b²

$\begin{eqnarray*} d_0=\lambda_3 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig oder?

07.12.2010, 20:06

system-agent

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Nein, das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hatte ich irrtümlich geschrieben.

Ja, die Koeffizienten der beiden Polynome müssen gleich sein wenn die Polynome als solche gleich sind. Also die beiden Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ , von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und der konstante Koeffizient. Das liefert 3 Gleichungen.

07.12.2010, 20:19

ines89

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???
also einfach
$\begin{eqnarray*} d_1,d_2,d_3 mit \lambda_1,_2,_3.... \end{eqnarray*}$ gleichsetzen

oder (t-a)², (t-b),1 mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1,_2,_3.... \end{eqnarray*}$ gleichsetzen

07.12.2010, 20:22

system-agent

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unglücklich

Du weisst doch sicher was die Koeffizienten eines Polynoms sind? Nun hast du das Polynom $\begin{eqnarray*} d_2t^2+d_1t+d_0 \end{eqnarray*}$ und das andere Polynom. Nun setze einfach die entsprechenden Koeffizienten gleich.

07.12.2010, 20:25

ines89

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was sind die koeffizienten????

07.12.2010, 20:51

system-agent

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$\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ ist zb der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ im Polynom $\begin{eqnarray*} d_2t^2+d_1t+d_0 \end{eqnarray*}$ . Einfach wie in der Schule auch.

07.12.2010, 21:01

ines89

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und was soll ich dann genau mit d. koeffizienten gleichsetzen???

07.12.2010, 21:10

system-agent

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Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von ines89
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ 2ta+ $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ a²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ 2tb+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ b²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

Ja. Und dies soll also gleich sein mit $\begin{eqnarray*} d_2t^2+d_1t+d_0 \end{eqnarray*}$ . Damit zwei Polynome gleich sind, müssen die Koeffizienten gleich sein.
Damit kriegst du 3 Gleichungen. Welche?

07.12.2010, 21:22

ines89

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hmmm

$\begin{eqnarray*} d_2t²=\lambda_1 \end{eqnarray*}$ (t-a)²

$\begin{eqnarray*} d_1t=\lambda_2 \end{eqnarray*}$ (t-b)²

$\begin{eqnarray*} d_0=\lambda_3 \end{eqnarray*}$

oder hab i wieder was falsch gemacht?

07.12.2010, 23:00

system-agent

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Du solltest einfach das tun was ich dir vorgeschlagen habe.

Im einen Polynom ist der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ und im anderen Polynom ist er $\begin{eqnarray*} \lambda_1+\lambda_2 \end{eqnarray*}$ .
Das ergibt die Gleichung $\begin{eqnarray*} d_3=\lambda_1+\lambda_2 \end{eqnarray*}$ .

Nun du den Rest.

08.12.2010, 10:50

ines89

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und wieso $\begin{eqnarray*} d_3 \end{eqnarray*}$ , da wie bis jetzt nur $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} d_0 \end{eqnarray*}$ hatten

08.12.2010, 11:13

system-agent

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Mist, ich habe mich wieder verschrieben. Also es muss $\begin{eqnarray*} d_2=\lambda_1+\lambda_2 \end{eqnarray*}$ heissen.

08.12.2010, 11:20

ines89

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soll dann weiter so gehen?
$\begin{eqnarray*} d_2=\lambda_1+\lambda_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_1=\lambda_2+\lambda_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_0=\lambda_3+\lambda_1 \end{eqnarray*}$

???? oder hab i falsch verstanden?

08.12.2010, 11:36

system-agent

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Falsch.
Beantworte doch mal die folgenden Fragen. Das ist eigentlich alles nur Schulwissen unglücklich

unglücklich

.

(i) Was sind denn die Koeffizienten eines Polynoms?

(ii) Was sind die Koeffizienten des Polynoms $\begin{eqnarray*} p(t)=d_2t^2+d_1t+d_3 \end{eqnarray*}$ ?

(iii) Was sind die Koeffizienten des Polynoms [ein Polynom in der Variablen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ] das du ausgerechnet hast?

Zitat:

Original von ines89
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ 2ta+ $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ a²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ 2tb+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ b²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

(iv) Wann sind zwei gegebene Polynome gleich?

08.12.2010, 11:40

ines89

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(i) Koeffizienten sind konstante zahlen, in unseren fall $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$
(ii) Koeffizienten sind $\begin{eqnarray*} d_2,d_1,d_0 \end{eqnarray*}$
(iii) da sind $\begin{eqnarray*} \lambda_1,_2,_3 \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten

08.12.2010, 13:13

system-agent

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Zitat:

Original von ines89
(i) Koeffizienten sind konstante zahlen, in unseren fall $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Nicht ganz.
Für ein Polynom $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^na_kt^k \end{eqnarray*}$ , das ist ein Polynom in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , sind die Koeffizienten gerade die $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ . Genauer: Der Koeffizient von $\begin{eqnarray*} t^k \end{eqnarray*}$ ist die Zahl $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von ines89
(ii) Koeffizienten sind $\begin{eqnarray*} d_2,d_1,d_0 \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von ines89
(iii) da sind $\begin{eqnarray*} \lambda_1,_2,_3 \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten

Falsch. Da steht doch zb zweimal ein $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ , jeweils mit einem anderen Koeffizient. Zusammenfassen liefert erst die passenden Koeffizienten.

Was ist mit Frage (iv) ?

08.12.2010, 13:27

ines89

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brauch bei Frage (iv) Hilfe...? Bin jetzt ganz durcheinander und kann derzeit net gescheit denken....

Also was wären dann koeffizienten von Frage (iii)...
und wann sie die 2 polynome gleich?.....dann wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen???

08.12.2010, 13:29

system-agent

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Zitat:

Original von ines89
Also was wären dann koeffizienten von Frage (iii)...

Ich habe es dir schonmal gesagt: Zusammenfassen und dann ablesen.

Zitat:

Original von ines89
und wann sie die 2 polynome gleich?.....dann wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen???

Ja.

08.12.2010, 13:38

ines89

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komm damit einfach nicht weiter....hab mit d. koeffizienten probleme ....

08.12.2010, 13:44

system-agent

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Entschuldige bitte, aber ich denke du solltest dringend die Grundlagen und das Schulwissen nacharbeiten.

Du sollst das Polynom

Zitat:

Original von ines89
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ 2ta+ $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ a²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ 2tb+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ b²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

zusammenfassen, das heisst in die Standardform $\begin{eqnarray*} ?t^2+??t+??? \end{eqnarray*}$ bringen.

Jetzt fasse das mal zusammen. Dann sind $\begin{eqnarray*} ? \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ?? \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ??? \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten des Polynoms.

08.12.2010, 13:50

ines89

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hmmm
vlt so:
( $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ )t²- $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ 2ta- $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ tb+ $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ a²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ b²+ $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$

anders kann ich nicht.....

08.12.2010, 13:56

system-agent

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Ja, der erste Koeffizient ist nun in Ordnung. Und was ist mit dem zweiten Koeffizient [also der vor $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ] ?

08.12.2010, 14:06

ines89

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zwiete koeffizient ist dann $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ oder 2...da bin i mir net sicher

08.12.2010, 14:12

system-agent

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Wieso räts du? unglücklich

unglücklich

Zusammenfassen !!

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