schnitt zweier ebenen

18.11.2006, 20:42

cerberus

schnitt zweier ebenen

Hallo!!

ich soll zwei Ebenen zum Schnitt bringen. Mir ist eigentlich klar wie das geht, aber bei den Übungsaufgaben habe ich bisher nur eine richtig und nach langer Fehlersuche frage ich euch nach Rat.

Diese Ebenen sind vorgegeben, wenn ich mich nicht irre, gehen sie direkt vom Ursprung aus:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = r\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{x} = r\begin{pmatrix} 2\\0 \\7 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Lösung soll lauten: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Rechenweg:
Habe das LGS aufgestellt:

I r - s = 2 r + s
II 2r+s= - s
III 3r = 7 r + s

und als zwischenlösung erhalte ich r = -2s

Die Zwischenlösung habe ich in E2 eingesetzt und so weitergerechnet

$\begin{eqnarray*} =- 2 s \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 14 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.11.2006, 20:43

cerberus

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sorry für den doppelpost:

meine frage also nach dieser fehlerhaften rechnung: wo liegt der fehler, rechne ich irgendwie grundsätzlich falsch?

18.11.2006, 23:18

mYthos

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Hi!

Erstens:

Zwei Ebenen schneiden sich - wenn überhaupt - nicht in einem Punkt, sondern in einer Geraden! Deshalb kann sich nicht ein einzelner Punkt als Schnittmenge ergeben!

Zweitens:

Wenn dies zwei verschiedene Ebenen sein sollen, dann dürfen sie nicht die gleichen Parameter haben. Nimm z.B. die Parameter u, v für die zweite Ebene,dann lautet dein LGS

1.: r - s = 2u + v
2.: 2r+s= -v
3.: 3r = 7u + v
-------------------------

In diesem darfst du (nur) einen Parameter als bekannt annehmen (voraussetzen) und dann nach den anderen drei Parametern auflösen. Dies erzeugt dann die Parameterform (mit einem Parameter) der Schnittgeraden. Vor kurzem habe ich so ein Beispiel vorgeführt (Boardsuche!)

Edit: Na gut, sieh' mal dann hier

mY+

19.11.2006, 10:58

Cerberus

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Hallo Mythos!

Danke für deine rasche Antwort.

Mir ist klar, dass Ebenen sich in einer Schnittgeraden zeigen. In dieser Aufgabe müsste aber doch nur ein Vektor als Lösung herauskommen, da die Ebenen über keine Stützvektoren verfügen.

Ich möchte so vorgehen, wie wir es auch im Unterricht hatten:

1. LGS aufstellen
2. Variablen eliminieren zwecks Schnittgeradenermittlung (diese erhält dann zwei Parameter und ist nach einem dieser Parameter aufgelöst).
3. Diese Schnittgerade in eine der Parametergleichungen einsetzen.

Jetzt habe ich deine Anmerkung, verschiedene Parameter für die beiden Gleichungen zu benutzen, berücksichtigt und folgendermaßen gerechnet:

I r - s = 2u + v
II 2r + s= -v
III 3r = 7u +v
_____________

I+II
r - s + 2r +s = 2u + v - v
<=> 3r - 2u = 0

_____________

I r - s = 2u + v | *(-1)
II 2r + s = - v
III 3r = 7u + v
_____________

I+III
-r + s + 3r = -2u - v + 7u + v
<=> 2r + s - 5u = 0

__________________

(I+II) 3r - 2u = 0 | *(-5)
(I + III) 2r + s - 5u = 0 | * 2
___________________

(I+II)+(I+III)

-15 + 10u + 4r + 2s - 10u = 0
<=> 4r + 2s - 15 = 0
<=> s = 7,5 - 2r

Meine Schnittgerade lautet doch dann s= 7,5 - 2r. Diese habe ich nun in die Ebene 1 (s. erster Post) eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} r\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + (7.5 - 2r)\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7,5+2r \\ 7,5-2r \\ 0 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7,5 \\ 7,5 \\ 0 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = r \begin{pmatrix} r \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Lösung ist nicht korrekt. Laut Lösungsbuch kommt als Lösung heraus:
$\begin{eqnarray*} t\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.11.2006, 12:22

mYthos

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Zitat:

Original von Cerberus
...
Meine Schnittgerade lautet doch dann s= 7,5 - 2r. Diese habe ich nun in die Ebene 1 (s. erster Post) eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} r\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + (7.5 - 2r)\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = r\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7,5+2r \\ 7,5-2r \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7,5 \\ 7,5 \\ 0 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = r \begin{pmatrix} r \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Lösung ist nicht korrekt. Laut Lösungsbuch kommt als Lösung heraus:

$\begin{eqnarray*} t\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hi,

in LaTex vermeidest du die hässlichen >br/>, wenn du jede einzelne Zeile in

code:
1:	[latex] hier steht der term ... [/latex] .. nach [latex] KEIN Zeilenumbruch

einschliesst.

Die Gleichung der Schnittgeraden kann nie eine Beziehung zwischen zwei Parametern sein. Es darf nur ein Parameter übrig bleiben, das ist der, den du frei gewählt hast. Die Gerade hat immer die Form

$\begin{eqnarray*} \vec{X} = \vec{A} + t\vec{g} \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis ist keine Gleichung, es fehlt links der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{X} \end{eqnarray*}$ .

Wenn sie durch den Nullpunkt geht, dann also

$\begin{eqnarray*} \vec{X} = t\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um den Fehler zu vermeiden und nicht im Kreis zu rechnen:

Nimm - ausgehend von deinem LGS am Anfang - z.B. u als gegeben an und löse nach den anderen 3 Parametern auf. Alle drei müssen dann diese Form haben:

r = irgendwas in u
s = irgendwas in u
v = irgendwas in u

Nun kannst du entweder (nur) r und s in die Ebene 1 oder v in die Ebene 2 einsetzen und wir haben sofort die Parameterform der gesuchten Geraden.

So, jetzt sehe ich mir mal deine Gleichungen an ...

Beim Nachrechnen deiner Gleichungen habe ich nun den Fehler entdeckt, ganz unten gehört -15r statt -15! Ansonsten würde deine Rechnung - wenn auch auf Umwegen - stimmen! Du kriegst damit die richtige Lösung!

mY+

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