Matrizen

07.12.2010, 18:13

Broly

Matrizen

Hallo

a)
Lösen sie folgende Gleichungen wobei A eine $\begin{eqnarray*} 2 x 4 \end{eqnarray*}$ Matrix und $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$

(i)
$\begin{eqnarray*} 4\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}-3A=\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 4 \\ -1 &6 \\ -1 & 8 \end{pmatrix}^T \end{eqnarray*}$

(ii)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} =\begin{pmatrix} i \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b)
Gegeben seien die 2 Matrizen $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, a \in \mathbb{R} und B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(i) Berechnen sie C = AB und D=BA + E wobei E die Einheitsmatrix ist.
(ii) Bestimmen mit Hilfe des Gauß-Algorithmus die Inversen C bzw. D der Matrizen C bzw. D.

So fangen wir mal an:

(i)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 & 16 \\ 20 & 24 & 28 & 32 \end{pmatrix} -3a = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 & -1 \\ 4 & 4 & 6 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3a =\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 & -1 \\ 4 & 4 & 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 & 16 \\ 20 & 24 & 28 & 32 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3a =\begin{pmatrix} -5 & -8 & -13 & -17 \\ 16 & 20 & 22 & 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} \frac{-5}{3} & \frac{-8}{3} & \frac{-13}{3} & \frac{-17}{3} \\ \frac{16}{3} & \frac{20}{3} & \frac{22}{3} & \frac{24}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

Wie geht man hier am besten vor?
Vom Verstand würde ich x auf eine Seite bringen.
Matrix dividieren tut man indem man mit dem Inversen Multipliziert?

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} i \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1.5 & 0.5 \\ 1.25 & -0.25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -0.25i & 0.25i \\ 0.25 & -0.25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?
Bedeutet das $\begin{eqnarray*} \vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$

b)

(i)

$\begin{eqnarray*} C = AB = \begin{pmatrix} 2& -a+8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D= BA + E = \begin{pmatrix} 3& 2a & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(ii)
Kann ich hier einfach a's weglassen und normal nur die Koeffizienten nehmen? Denke wohl eher nicht. WEnn doch hätte ich für :

Inverses C =

0,20833 -0,29167

-0,08333 -0,08333

Inverses D =

0,33333 -1,83333 -0,16667

0 0,75 0,25

0 1 0

Grüße

07.12.2010, 18:48

lgrizu

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RE: Matrizen

Zitat:

Original von Broly

So fangen wir mal an:

(i)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 & 16 \\ 20 & 24 & 28 & 32 \end{pmatrix} -3a = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 & -1 \\ 4 & 4 & 6 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3a =\begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 & -1 \\ 4 & 4 & 6 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 8 & 12 & 16 \\ 20 & 24 & 28 & 32 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3a =\begin{pmatrix} -5 & -8 & -13 & -17 \\ 16 & 20 & 22 & 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} \frac{-5}{3} & \frac{-8}{3} & \frac{-13}{3} & \frac{-17}{3} \\ \frac{16}{3} & \frac{20}{3} & \frac{22}{3} & \frac{24}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

Nein, du hast zum Schluss durch 3 dividiert, nicht durch -3.
Um dich zu vergewissern kannst du ja einfach mal die Probe machen Augenzwinkern

Zitat:

Original von Broly
Wie geht man hier am besten vor?
Vom Verstand würde ich x auf eine Seite bringen.
Matrix dividieren tut man indem man mit dem Inversen Multipliziert?

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} i \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1.5 & 0.5 \\ 1.25 & -0.25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} -0.25i & 0.25i \\ 0.25 & -0.25 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?
Bedeutet das $\begin{eqnarray*} \vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$

Hier hast du kompletten Mist gemacht, das Stichwort ist "erweiterte Matrix" und "Gauß"

Zitat:

Original von Broly
b)

(i)

$\begin{eqnarray*} C = AB = \begin{pmatrix} 2& -a+8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D= BA + E = \begin{pmatrix} 3& 2a & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die beiden sind auch falsch ausgerechnet.....

07.12.2010, 20:28

Broly

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Oh na toll^^ war aber nur ein Abschreibfehler ^^

$\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} \frac{5}{3} & \frac{8}{3} & \frac{13}{3} & \frac{17}{3} \\ \frac{-16}{3} & \frac{-20}{3} & \frac{-22}{3} & \frac{-24}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hmm die erweiterte Matrix ist doch:

A = (A |b) ?

In dem Fall :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 5 & 6 &-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei 1 und -2 die "ergebnissseite" ist.

Und um x zu errechnen müsste ich aus :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

machen ? Und was auf der ergebnisseite rauskommt wäre dann das Ergebnis,also:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Verstehe ich das richtig? Diese Umformung geht doch hier aber nicht?

Hammer

Wieso ist das falsch ausgerechnet. Noch mal Schritt für Schritt.

C = AB

$\begin{eqnarray*} C= \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 &-a-8 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

D= BA + E

$\begin{eqnarray*} D= BA + E = \begin{pmatrix} 3& 2a & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 21:22

lgrizu

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So, jetzt ist das meiste richtig, nur a) ii) fehlt noch.

hier ist die erweiterte Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & |i \\ 5 & 6 & |-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Diese bringt man nun auf Zeilenstufenform und bestimmt die Lösungsmenge.

07.12.2010, 21:45

Broly

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Gut das hatte ich ja auch geschrieben. Nur ist mir das nicht klar. Soll ich das jetzt in die Form bringen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & |xi \\ 0 & 1 & |x-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

oder soll ich das i auflösen sofern das erlaubt ist ?

Wenn ich i auflöse würde ich das mit 2 * (1) +(2) machen =
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 & 10 & |0 \\ 5 & 6 & |-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

07.12.2010, 22:46

lgrizu

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Du weißt aber schon, wie man LGS löst, oder?

Bringe diese Matrix auf Zeilenstufenform, was ist denn daran so schwer?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & |i \\ 5 & 6 & |-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

...und wieso willst du nach i auflösen?
i ist keine Unbekannte, der Vektor hat komplexe Einträge.....

07.12.2010, 23:22

Broly

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So hier : ? Big Laugh

1 + 2 = i
5 + 6 = -2

0 -4 = -2 - 5i | : -4
1 = + 0.5 +5i/4

1 + 2(0,5 + 5i/4) = i
2 + 10i/4 = i
2 = -6i/4 | :2
1 = -6i/8 = -3i/4

Dann sind die Ergebnisse :

x1 = -3i/4 ; x2 = 0.5 + 5i/4

oder was ?

07.12.2010, 23:36

lgrizu

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Zitat:

Original von Broly
So hier : ? Big Laugh

1 + 2 = i
5 + 6 = -2

Diese beiden Gleichungen sind falsch, wie man leicht sehen kann, es ist:

$\begin{eqnarray*} 5+6=11 ,\neq -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1+2=3 \neq i \end{eqnarray*}$

Alle Umformungen die du dann machst kann ich nicht nachvollziehen.

Kennst du das Gauß-Eliminationsverfahren?
Weißt du, was die Zeilenstufenform einer Matrix ist?

aber x_2 ist richtig ausgerechnet.
x_1 stimmt dann leider nicht.....

08.12.2010, 00:41

Broly

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Hab das nach dem Gaußverfahren gemacht. Vielleicht ein bisschen unordentlich aufgeschrieben Tanzen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & |i \\ 5 & 6 & |-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei ich jetzt unten die 5 eleminieren möchte
das tu ich mit" (2) - 5 *(1) "
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & |i \\0 & -4 & |-2-5i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt würde ich -4x2 = -2 -5i auf 1 x2 bringen.

$\begin{eqnarray*} -4x_2 = -2 - 5i | : -4 x_2 = \frac{1}{2} + \frac{5i}{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ in die erste noch unveränderte Gleichung einsetzen.
Also in
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1x_1 & 2x_2 & |i \end{pmatrix} 1x_1 + 2( \frac{1}{2} + \frac{5i}{4}) = i 1 + \frac{2}{2} + \frac{10i}{4} = i 2 + \frac{10i}{4} = i | - \frac{10i}{4} 2 = -\frac{6i}{4} | :2 1 = - \frac{6i}{\frac{4}{2}} \end{eqnarray*}$
ab hier hatte ich mich verrechnet .
$\begin{eqnarray*} 1x_1 = -3i \end{eqnarray*}$

Is das eher richtig oder hab ich da einen allgemeinen Denkfehler drinne ?

08.12.2010, 09:54

lgrizu

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Die Notation war tatsächlich das Problem, x_2 war ja auch richtig ausgerechnet.

Zitat:

Original von Broly
Hab das nach dem Gaußverfahren gemacht. Vielleicht ein bisschen unordentlich aufgeschrieben Tanzen

Bis hierhin ist alles richtig

Zitat:

Original von Broly
$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{2}{2} + \frac{10i}{4} = i 2 + \frac{10i}{4} = i | - \frac{10i}{4} 2 = -\frac{6i}{4} | :2 1 = - \frac{6i}{\frac{4}{2}} \end{eqnarray*}$
ab hier hatte ich mich verrechnet .
$\begin{eqnarray*} 1x_1 = -3i \end{eqnarray*}$

Is das eher richtig oder hab ich da einen allgemeinen Denkfehler drinne ?

Das ist nun alles Müll, die Umformungen sind falsch

Wo ist das x_1 denn hin? Warum ist es verschwunden?

Und noch etwas: wenn du einen Bruch dividierst so erhälst du:

$\begin{eqnarray*} (\frac{a}{b} ):c=\frac{ \frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc} \neq \frac{ac}{b}=\frac{a}{\frac{b}{c}} \end{eqnarray*}$ und das können sechstklässler....

Es ist richtig, du setzt x_2 in die erste Gleichung ein, dann erhälst du:

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2( \frac{1}{2} + \frac{5i}{4}) = i \end{eqnarray*}$ .

Das löst du nun nach x_1 auf.

addiere auf beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray*} - 2( \frac{1}{2} + \frac{5i}{4}) \end{eqnarray*}$ , dann hast du es schon.

08.12.2010, 13:45

Broly

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JA hätte mal das $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ mitschreibeiben sollen dann hätte ich es nicht mit zusammengefasst LOL Hammer

.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1x_1 & 2x_2 & |i \end{pmatrix} 1x_1 + 2( \frac{1}{2} + \frac{5i}{4}) = i 1x_1 + \frac{2}{2} + \frac{10i}{4} = i 1x_1 = -\frac{6i}{4} -1 \end{eqnarray*}$

Wow dachte bisher die Jugend heute ist nur noch assozial und interessiert sich nicht für Mathe oder der Gleichen - echt interessant wenn die das können. Big Laugh

Was ändert das daran, wenn ichs falsch gemacht habe? Wohl nichts.

08.12.2010, 13:57

lgrizu

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Okay, nun ist alles richtig.

Zitat:

Original von Broly

Wow dachte bisher die Jugend heute ist nur noch assozial und interessiert sich nicht für Mathe oder der Gleichen - echt interessant wenn die das können. Big Laugh

Was ändert das daran, wenn ichs falsch gemacht habe? Wohl nichts.

Diese beiden Statements kann ich nicht zuordnen, das erste hat wohl auch nichts mit dem Thema zu tun, und was soll das zweite bedeuten?

08.12.2010, 14:04

Broly

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Ging um

"und das können sechstklässler...."

Vielen Dank das du mir geholfen hast =)

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