Beweis einer IMpliktaion, Folgen

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eichenbaum Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer IMpliktaion, Folgen
also ich habe folgende mengen gegeben:

und



mit der Addition (x_n) + (y_n) = (n_n +y_n)
und der skalaren Multipliktaion : r(x_n) = (rx_n)

Man soll folgende implikation beweisen:


How did i get it started?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist einfach die Aussage eines Grenzwertsatzes.
eichenbaum Auf diesen Beitrag antworten »

Can be.....Problem ist nur das wir bis jetzt nicht explizit Grenzwertsätze durchgenommen haben....
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Na das kennst du ganz sicher schon:
Sei eine Nullfolge und eine beschränkte Folge, dann gilt .

Ansonsten kannst du es auch einfach per Hand beweisen.
eichenbaum Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich glaube das ist doch im Prinzip was ich zu beweisen habe......c:o ist die Menge der Nullfogen, l ^infinity ist die Menge der beschränkten Folgen und daraus soll folgen Nullfolge mal beschränte Folge ist Element der Nullfolge......Aber wie gehe ich beim von Hand Beweis vor?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen, dass für ein [das ist die Beschränktheit].

Nun sei . Zeige, dass zu kriegen ist für gross genug.
 
 
eichenbaum Auf diesen Beitrag antworten »

hmm......wie mache ich das? schreibe ich für x_n und y_n jeweils einen limes.....also für x_n gegen o und y_n gegen die Schranke m? und das Produkt ist Null?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Fang doch einfach mal an abzuschätzen:
eichenbaum Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stehe gerade auf dem Schlauch.....ich hätte gedacht den Grenzwert abschätzen tut man bei expliziten Folgen oder Funktionen mit explitziten werten aber dies hier ist ja eher formal....also kleiner gleich epsilon?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind aber keine expliziten Folgen. Man weiss nur dass die eine eine Nullfolge und die andere eine beschränkte Folge ist.

Und nein, deine Abschätzung ist sicher falsch.
Mache es genau wie im ersten Semester.
eichenbaum Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich bin gerade im ersten Semester Augenzwinkern
Und bezüglich so einer Abschätzung haben wir.....bis jetzt noch nichts explizites gemacht.....Cauchy Folge wurde durchgenommen und supremum und infimum erklät nach einführung der reellen zahlen....
also wie macht man das?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Weil man diese Bezeichnung typisch in der Funktionalanalysis nutzt dachte ich, dass du weiter bist Augenzwinkern .

Um abzuschätzen, nutze die Voraussetzung dass die Folge beschränkt ist [die Sache mit dem ].

Du weisst ausserdem, dass gilt. Was bedeutet das [Definition mit Epsilon]?
eichenbaum Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja die exakte Definition der Nullfolge ist ja
und mit der Beschränktheit gilt ja dann mit dem vorgegebenen Limes, dass sich mit großen n das ganze 0*m annähert was ja wiederum 0 ist und somit kleiner als Epsilon?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja.

Nein, das was du geschrieben hast ist nicht die exakte Definiton der Konvergenz gegen Null.
Die exakte Definition geht so:
heisst konvergent gegen Null, falls man für jedes einen Index finden kann derart, dass
für alle .

Ja, es gilt sicher mal, dass für alle , also kann man sicher schonmal

schreiben.

Wir haben uns ein beliebiges vorgegeben. Wieso kann man ein finden derart, dass für richtig ist?
Was kriegst du dann damit?
eichenbaum Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja im Prinzip hast du ja bereits durch die Angabe dass es sich hierbei um eine Nullfolge handelt vorgegeben....und bei man teilt bei der letzten Aussage x_n * M einfach durch M weil die Nullfolge ja definiert ist für beliebig kleine Epsilon und wenn ich durch die feste Schranke M teile wird Epsilon halt kleiner aber x_n bleibt eine Nullfolge.....oder?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau weil eine Nullfolge ist.

Also ganz formal:
Sei gegeben und sei derart, dass
für richtig ist [das gibt es, da eine Nullfolge ist]. Dann folgt
für .
Also ist gezeigt, dass eine Nullfolge ist.
eichenbaum Auf diesen Beitrag antworten »

Hab vielen Dank Freude
Ohne eure Hilfe echt Freude
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