Funktionsscharen+Extrempunkteproblem

07.12.2010, 19:10	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsscharen+Extrempunkteproblem Folgendes Problem: Für welche k haben die Graphen der Funktionenschar f Extrempunkte? Die Formel: $\begin{eqnarray} f_{k}(x)=kx+ \sin(\frac{x}{k} ) \end{eqnarray}$ Wie ich mir das Vorstelle dazu vllt. folgendes Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x)=x^2-k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{k} =x_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\sqrt{k}=x_2 \end{eqnarray}$ Da gilt also, das k >0 sein muss sonst gibt es keine Ergebnisse. Bei der oben genannten Aufgabe würde ich 1x Ableiten und dann auflösen! $\begin{eqnarray} f_{k}'(x)=k+cos(\frac{x}{k})\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=k+cos(\frac{x}{k}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -k=cos(\frac{x}{k}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} arccos(-k)=\frac{x}{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\pi-arccos(-k)=\frac{x}{k} \end{eqnarray}$ Und nun weiß ich nicht weiter Vllt. irgendwelche tipps?
07.12.2010, 20:24	Seawave	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionsscharen+Extrempunkteproblem $\begin{eqnarray} f_{k}'(x)=k+cos(\frac{x}{k})\frac{1}{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=k+cos(\frac{x}{k}) \end{eqnarray*}$ Die Umformung kannst du so nicht machen. Rechts steht eine Summe. Wenn du die ganze Gleichung mit k multiplizierst, dann musst du auch jeden Summanden mit k multiplizieren. Es muss also k² heißen. Was ich nicht verstehe ist, wo das 2 pi da auf einmal herkommt? Tipp fürs weitere Vorgehen: Der Cosinus liegt zwischen -1 und 1.
07.12.2010, 21:18	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
2/pi kommen dadurch, das es den f(x) Wert in der Periode 2x gibt. $\begin{eqnarray} 0=k^2+cos(\frac{x}{k}) \end{eqnarray}$ Dann hätte ich $\begin{eqnarray} arccos(-k^2)=\frac{x}{k} \end{eqnarray}$ Aber irgendwie , wahrscheinlich habe ich einfach gerade nicht das Auge dafür, sehe ich keine Probleme mit den Extrempunkten
07.12.2010, 21:50	Seawave	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meine Überlegung war jetzt $\begin{eqnarray} 0\le k² \le1 \end{eqnarray}$ , damit -k² zwischen -1 und 1 liegt, weil arccosinus nur dort definiert ist. Außerdem darf k nicht 0 sein, weil es im Nenner steht. Daraus folgt $\begin{eqnarray} 0 < k\le 1 \end{eqnarray}$ Korrigiert mich bitte, wenn das falsch ist!
07.12.2010, 21:57	oschili	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut der Arkuscosinus ist nur von -1;1 definiert? Aber was ist von ihm eigentlich nochmal die Aussage? Was sind diese Werte für Werte? Sonst würde ich dir vollkommen zustimmen !
07.12.2010, 22:05	Seawave	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Cosinus eines Winkels liegt immer zwischen -1 und 1, genauso wie der Sinus. Klarmachen kannst du dir das nochmal am Einheitskreis. Der Arccosinus dient dazu, "rückwärts" zu rechnen. Also praktisch " Von welchem Winkel ist der cosinus soundsogroß"
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