Basen von Unterräumen

07.12.2010, 19:25	Aufmschlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen von Unterräumen Meine Frage: Betrachten Sie in dem $\begin{eqnarray} Z_{3}-Vektorraum Z^{2}_{3} \end{eqnarray}$ die Unterräume U1 = Span((1,1)) und U2 = Span((1,2)). (a) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} U1 + U2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U1 \oplus U2 \end{eqnarray}$ und geben Sie Basen an. (b) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} U1 \times U2 \end{eqnarray}$ und geben Sie eine Basis an. Meine Ideen: ich komme bei dieser aufgabe leider gar nicht weiter, muss sie allerdings bearbeiten und abgeben :/ danke im vorraus.
07.12.2010, 20:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} U_1,U_2 \end{eqnarray}$ können dir eigentlich keine Probleme mehr bereiten, nachdem wir schon mal über $\begin{eqnarray} Z_3^2 \end{eqnarray}$ diskutiert haben. Das sind 1-dimensionale Untervektorräume mit je drei Vektoren. Für (a) und (b) musst du jetzt nur noch die Definitionen für + und x kennen.
07.12.2010, 20:26	Aufmschlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
ja mit $\begin{eqnarray} Z_3^2 \end{eqnarray}$ hast du mir sehr geholfen die unterräume von $\begin{eqnarray} Z_3^2 \end{eqnarray}$ sind ja: der nullraum $\begin{eqnarray} <br /> U_{1} = (0,0)<br /> <br /> U_{2}= Z_{3}^{2} <br /> <br /> U_{3}= \left\{ \left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(0,2\right) \right\} <br /> <br /> U_{4}=\left\{ \left(0,0\right),\left(1,0\right),\left(2,0\right) \right\} <br /> <br /> U_{5}=\left\{ \left(0,0\right),\left(1,1\right),\left(2,2\right) \right\} <br /> <br /> U_{6}=\left\{ \left(0,0\right),\left(1,2\right),\left(2,1\right) \right\} <br /> \end{eqnarray}$ aber wie habe ich das mit dem span zu verstehen?
08.12.2010, 18:16	Aufmschlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab jetzt $\begin{eqnarray} U_1 = \left\{(0,0),(1,1),(2,2)\right\} <br /> U_2 = \left\{(0,0),(1,2),(2,1)\right\} \end{eqnarray}$ , da der span ja die menge aller Linearkombinationen ist, also $\begin{eqnarray} span(U_1) = \left\{ \lambda \cdot (1,1)\| \lambda \in Z_3\right\}, span(U_2) \end{eqnarray}$ folgt analog. Daraus folgt: $\begin{eqnarray} <br /> U_1 + U_2 = \left\{(0,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\right\} <br /> U_1 \oplus U_2 =\left\{ (0,0)\right\} <br /> U_1 \times U_2 =\left\{ (u_1,u_2) \| u_1 \in U_1, u_2 \in U_2\right\} \end{eqnarray}$ richtig so? wenn ja, fehlen mir ja nur noch die basen, ich weiß, dass diese linear unabhängig sein müssen und ein erzeugendensystem bilden müssen. mein problem ist das finden einer solchen basis.. und by the way wieso verrückt latex den zeilenbeginn immer so komisch?^^
09.12.2010, 18:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} U_1,U_2 \end{eqnarray}$ ist goldrichtig. Wie ist $\begin{eqnarray} U_1+U_2 \end{eqnarray}$ definiert ? Wenn das ein Vektorraum sein soll, ist das falsch, denn deine Lösung hat 5 Elemente, ein Vektorraum der Dimension n über $\begin{eqnarray} Z_3 \end{eqnarray}$ muss aber $\begin{eqnarray} 3^n \end{eqnarray}$ Elemente und eine Basis mit n Elementen haben. Wie ist $\begin{eqnarray} U_1\oplus U_2 \end{eqnarray}$ definiert ? In deinem Skript steht: "Die Summe $\begin{eqnarray} U_1+U_2 \end{eqnarray}$ heißt direkte Summe, und wird mit $\begin{eqnarray} U_1\oplus U_2 \end{eqnarray}$ bezeichnet, wenn gilt, ..." Also ist das entweder derselbe Vektorraum, oder er existiert gar nicht. Bei $\begin{eqnarray} U_1\times U_2 \end{eqnarray}$ liegst du richtig, da fehlt "nur noch" eine Basis.
14.12.2010, 19:02	Aufmschlauchsteher	Auf diesen Beitrag antworten »
okay vielen dank, habs mit deinen tips noch bearbeitet, abgegeben und war richtig
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