Abzählbar oder nicht? |
| 07.12.2010, 20:13 | Fiddi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Abzählbar oder nicht? Ich habe folgende Mengen gegeben und soll angeben, ob sie abzählbar sind und wenn ja, deren Bijektivität nachweisen. Meine Ideen: meine bisheringen Ansätze: a) ist abzählbar, da Teilmenge der natürlichen Zahlen b) ist abzählbar c) ist nicht abzählbar d) ist abzählbar um mir das zu verdeutlichen, habe ich Tabellen erstellt: a) n 1 2 3 4 5 6 7 8... -------------------------------- f(n) 2 4 6 8 10 12 14 16... b) n 1 2 3 4 5 6 7 8... -------------------------------- f(n) 1 2 4 5 7 8 10 11... c) n 1 2 3 4 5 6 7 8... -------------------------------- f(n)-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 d) n 1 2 3 4 5 6 7 8... ------------------------------------------------------------------ f(n)1/2 1/4 1/8 1/10 1/14 1/16 1/18 1/22... - Nach Definition sind 2 Mengen gleichmächtig, falls eine bijektive Abbildung existiert - eine Menge heißt abzählbar, falls die Menge gleichmächtig mit den natürlichen Zahlen ist - Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar bei a) kann man verwenden, dass A eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist mit der Bijektion: f: |N -> 2n f^-1: 2n -> |N bei b) sehe ich zwar eine Regelmäßigkeit (in den ersten beiden n +0, in dem 2.+3. n+1, in dem 4.+5. n+2,...) weiß aber nicht, wie ich dies verallgemeinern kann... bei c) muss ich nichts nachweisen, da es keine Bijektion gibt (ist es dann überabzählbar?) bei d) finde ich leider keine allgemeine Regelmäßigkeit |
||||
| 08.12.2010, 08:27 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mengen können nicht bijektiv sein. Bijektivität ist eine Eigenschaft von Funktionen/Abbildungen. Die Mengen A,B sind Teilmengen der natürlichen Zahlen, und damit abzählbar. Das ist ok. Allerdings hast Du keine Abbildungen definiert und deren Bijektivität gezeigt. Etwa wäre mit eine bijektive Abbildung. (und diese Abbildung spiegelt genau deine Zählweise wieder) Für B müsste man schon etwas mehr tun. Die Menge C ist endlich und damit abzählbar. Denn In Mengen kommt jedes Element nur einmal vor. Solche Mengen wie Du sie aufschreibst gibt es nicht. Das sagt schon die Definition der Menge. Zu D: Wie würdets Du folgende Zuordnung als Funktion definieren : 1 -> 2 2 -> 4 3 -> 8 4 -> 10 5 -> 14 6 -> 16 ? |
||||
| 08.12.2010, 08:36 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Mazze Im strengen Sinne heisst eine Menge abzählbar, wenn es eine Bijektion mit gibt. Insbesondere sind endliche Mengen nicht abzählbar. Um diesen Mangel zu beheben spricht man dann von "höchstens abzählbaren Mengen"; also endliche oder abzählbare Mengen. Hier muss der Fragesteller noch sagen wie die Frage genau gemeint ist oder was seine Definition war. |
||||
| 08.12.2010, 09:53 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für den Hinweis. Mir scheint , dass Fiddi die strenge Definition ansetzt, von daher hast Du mit C natürlich recht Fiddi ! |
||||
| 08.12.2010, 11:49 | Fiddi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich arbeite mit der Definition, dass jedes Element der Menge eindeutig eine natürliche Zahl zuordnet, meint ihr das mit "strenge" Definition bezüglich c)? und wegen d) ja, da sitze ich ja die ganze Zeit davor und komme nicht weiter... hab es mit Potenzen probiert, was bei 4 -> 10 bereits scheitern und wenn ich mit n/2 arbeite wie in a) muss ich noch einschränken, dass alle durch 3 teilbaren Zahlen ausgeschlossen werden... verstanden hab ich es, nur darauf kommen tue ich irgendwie nicht 
|
||||
| 08.12.2010, 12:02 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau dir mal folgendes an : 1 -> 2 also 2 = 2*1 2 -> 4 also 4 = 2*2 3 -> 8 also 8 = 2*3 + 2 4 -> 10 also 10 = 2*4 + 2 5 -> 14 also 14 = 2*5 + 4 6 -> 16 also 16 = 2*6 + 4 7 -> 20 also 20 = 2*7 + 6 8 -> 22 also 22 = 2*8 + 6 usw. |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 08.12.2010, 12:29 | Fiddi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich will wirklich nicht eure Nerven strapazieren, aber ich komme einfach nicht auf die Verallgemeinerung des Faktors... also man hat ja 2*n+Faktor wobei der Faktor hier wäre: 2*n+2*0 2*n+2*0 2*n+2*1 2*n+2*1 2*n+2*2 2*n+2*2 2*n+2*3 2*n+2*3 für n/gerade könnte man n/2 - 1 verwenden z.B. für n=8, aber was mache ich für n/ungerade? |
||||
| 08.12.2010, 12:33 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dieser "Faktor", der eigentlich ein Summand ist ( 
) sieht ja so aus :1 -> 0 2 - >0 3 -> 2 4 -> 2 5 -> 4 6 -> 4 Usw. Den kann man auch so beschreiben : |
||||
| 08.12.2010, 12:36 | Fiddi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und wenn ich richtig sehe, funktioniert b) ähnlich? |
||||
| 08.12.2010, 12:37 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, durchaus. |
||||
| 08.12.2010, 13:18 | Peanutss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey eine kleine Hilfe zur b: Wenn du mal ein paar Glieder der Menge aufschreibst, lässt sich ganz schnell eine immer wieder auftretetende Zahlenfolge festmachen. Jetzt könnte man sich eigentlich denken, man gibt 2 Zurodnungsvorschriften an. Bin mir, aber nicht sicher, ob sich solche 2 auch wirklich finden lassen! |
||||
| 08.12.2010, 13:24 | Peanutss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ow ich sehe, solch ein Tipp wurde bereits gegeben. |
||||
| 08.12.2010, 13:27 | Peanutss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, ich sehe die Lösung glaub ich 
Schau mal ganz genau den Rest an, und wie er sich verändert zu IN |
||||
| 08.12.2010, 18:18 | Peanutss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du es nun gelöst? Falls ja, poste doch mal die b), damit ich sehen kann, ob ich richtig gedacht habe^^ |
||||
| 09.12.2010, 08:33 | Fiddi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nach dem vorgehen von d) hätte ich jetzt n+(n-1) vorgeschlagen, aber irgendwie haut das einfach nicht hin... |
||||
| 10.12.2010, 08:40 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur b ) 1 -> 1 2 -> 2 3 -> 4 4 -> 5 5 -> 7 6 -> 8 7 -> 10 8 -> 11 oder anders : 1 -> 1 + 0 2 -> 2 + 0 3 -> 3 + 1 4 -> 4 + 1 5 -> 5 + 2 6 -> 6 + 2 7 -> 7 + 3 8 -> 8 + 3 usw. |
||||
|
|