Widerspruch Abstand zwischen 0,9999... und 1 und Konvergenz der Reihe 9/10^k

07.12.2010, 21:08

Martin L

Widerspruch Abstand zwischen 0,9999... und 1 und Konvergenz der Reihe 9/10^k

Moin Moin,

ich habe hier wieder eine Aufgabe, bei der ich obwohl es irgendwie klar ist was man machen muss nicht klar ist wie. Bei Aufgabenteil a) brauch ich glaub ich nur ne Idee weil ich mit den Reihen irgendwie nicht richtig warm werde. Ich muss damit einfach noch ein bisschen arbeiten.
Bei b) ist die Aufgabe recht schwammig formuliert.

a) Untersuchen sie die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} \end{eqnarray*}$

Da ist ja klar, wie die Reihe aussieht, und auch was der Grenzwert ist, und auch, dass $\begin{eqnarray*} \frac{9}{10^k} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist aber das gilt bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ja auch und die harmonische Reihe divergiert.
Wie muss ich da rangehen?

b) Angenommen $\begin{eqnarray*} 0,999... < 1 \end{eqnarray*}$ Dann gibt es einen Abstand: Sei $\begin{eqnarray*} a := 1 - 0,9999... \end{eqnarray*}$ dieser Abstand.
Zuerst mal sollen wir ne Skizze in der Zahlengeraden machen, das krieg ich noch hin.
Nun betrachten wir die Folge (0,9;0,99;0,999;.....) Alle Folgenglieder sind offensichtlich kleiner als 0,99999....... Zeichnen sie auch diese Folgenglieder in die Skizze (geht ja auch aber jetzt wirds schwamming) Erkennen Sie, zu welchem Widerspruch die Annahme 0,999... < 1 führt? Leiten Sie diesen Wiederspruch formal her!

Irgendwie weiß ich nicht, was von mir gewollt wird, ich könnte mir vorstellen, dass das in folgende Richtung geht:

es gibt einen Abstand, also ist der Abstand immer zwischen 0,9999.. und 1. Also ist 0,999999.... nach oben beschränkt durch 1 - a aber egal wie klein man a wählt, man findet immer ein folgenglied was näher an 1 dran ist.

Das wäre ja ein Widerspruch aaaaber ist es der gemeinte? Wie leitet man das formal her?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen (bzw ich gehe davon aus das ihr könnt, ich hoffe ihr habt gerade Zeit ;-))

Grüße
Martin

07.12.2010, 22:27

klarsoweit

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RE: Widerspruch Abstand zwischen 0,9999... und 1 und Konvergenz der Reihe 9/10^k

Zitat:

Original von Martin L
Da ist ja klar, wie die Reihe aussieht, und auch was der Grenzwert ist, und auch, dass $\begin{eqnarray*} \frac{9}{10^k} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist aber das gilt bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ja auch und die harmonische Reihe divergiert.
Wie muss ich da rangehen?

Stichwort: geometrische Reihe.

Zitat:

Original von Martin L
Also ist 0,999999.... nach oben beschränkt durch 1 - a aber egal wie klein man a wählt, man findet immer ein folgenglied was näher an 1 dran ist.

Im Prinzip ist das die Beweisidee. Man muß sich dazu noch folgendes überlegen:

Wenn a > 0 ist, gibt es ein k, so daß $\begin{eqnarray*} 10^k > \frac 1 a \end{eqnarray*}$ ist.
Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10^k} < a \Leftrightarrow 1 - a < 1 - \frac{1}{10^k} \end{eqnarray*}$

Es ist aber 0,999.... mit (k+1) Neuner größer als $\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{10^k} \end{eqnarray*}$ .

26.12.2010, 13:58

netzweltler

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Ist a = 0 oder einfach nur so nahe an 0, dass der Abstand mit rationalen Zahlen nicht mehr beschreibbar ist?

Wie verhält es sich bei der Reihe

1/2 + 1/4 + 1/8´+ 1/16 + ... ?

Wird hier nicht auch das Ergebnis gleich 1 gesetzt, also mit a = 0?

26.12.2010, 15:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von netzweltler
Ist a = 0 oder einfach nur so nahe an 0, dass der Abstand mit rationalen Zahlen nicht mehr beschreibbar ist?

Verstehe die Frage nicht so ganz. Man will zeigen, daß a=0 ist, und nimmt in einem Widerspruchsbeweis an, daß a > 0 ist.

Zitat:

Original von netzweltler
Wird hier nicht auch das Ergebnis gleich 1 gesetzt, also mit a = 0?

Da wird nichts gleich 1 gesetzt, sondern der Grenzwert der Reihe ist gleich 1.

27.12.2010, 09:22

netzweltler

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Wenn ich in der Zahlengeraden Markierungen setze nach der Vorschrift

Zeit 0: Ich setze eine Markierung an Position 0 (a = 1)
Zeit 0,9: Ich setze eine Markierung an Position 0,9 (a = 0,1)
Zeit 0,99: Ich setze eine Markierung an Position 0,99 (a = 0,01)
Zeit 0,999: Ich setze eine Markierung an Position 0,999 (a = 0,001)
...

werde ich dann zum Zeitpunkt 1 eine Markierung an Position 1 (a = 0) setzen?

27.12.2010, 09:58

klarsoweit

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RE: Widerspruch Abstand zwischen 0,9999... und 1 und Konvergenz der Reihe 9/10^k
Bei der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} \end{eqnarray*}$ wirst du die 1 niemals erreichen. Du kommst nacheinander an die Markierungen 0,9, 0,99, 0,999 usw. Du kommst damit an die 1 beliebig nahe heran, aber es gibt kein n, wo $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{9}{10^k} = 1 \end{eqnarray*}$ ist

27.12.2010, 10:54

netzweltler

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RE: Widerspruch Abstand zwischen 0,9999... und 1 und Konvergenz der Reihe 9/10^k
Wie groß ist a gemäß obiger Vorschrift zum Zeitpunkt 1?

27.12.2010, 11:36

klarsoweit

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RE: Widerspruch Abstand zwischen 0,9999... und 1 und Konvergenz der Reihe 9/10^k
Ich weiß nicht, worauf du hinaus willst und vor allem, warum du von Zeitpunkten redest.

a ist die Differenz zwischen 1 und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{9}{10^k} \end{eqnarray*}$ . Und durch einen Widerspruchsbeweis zeigt man eben, daß a=0 ist.

27.12.2010, 18:14

Martin L

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Und ansonsten nehmt einfach den Beweis, dass

1/3 = 0,333333... ist. Auf beiden Seiten mit 3 multipliziert ergibt:
1 = 0,9999999...

Damit muss auch der Abstand zwischen der Folge und 1 im Unendlichen 0 sein, da ja 1 = 0,9999.... ist. Da passt nix zwischen.

Und noch mal zu netzweltler weil niemand drauf ein gegangen ist, du hast geschrieben:

Ist a = 0 oder einfach nur so nahe an 0, dass der Abstand mit rationalen Zahlen nicht mehr beschreibbar ist?

Wie soll denn der Abstand so klein werden, dass er mit rationalen Zahlen nicht mehr beschreibbar ist? gibt doch unendlich viele davon und für jeden Abstand > 0 wirst du eine rationale Zahl finden, welche zwischen dem Abstand und 0 liegt. Wenn du so eine Zahl nicht findest, dann ist der Abstand halt 0.

27.12.2010, 18:17

Airblader

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Zitat:

Original von Martin L
Und ansonsten nehmt einfach den Beweis, dass

1/3 = 0,333333... ist. Auf beiden Seiten mit 3 multipliziert ergibt:
1 = 0,9999999...

Damit muss auch der Abstand zwischen der Folge und 1 im Unendlichen 0 sein, da ja 1 = 0,9999.... ist. Da passt nix zwischen.

So ein Blödsinn. Sorry, muss aber gesagt werden. Wer auch immer das liest ignoriert es bitte auch wieder umgehend. Das ist kein "Beweis", in der Hochschulmathematik schon zehn Mal nicht. Und auch im Schulbereich ist sowas eher ein Pseudo-Beweis bzw. ein Plausibilitätsargument.

Alles Nötige dazu lässt sich im folgenden Thread nachlesen:
0,[periode]9 = 1

air

27.12.2010, 18:22

Martin L

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Ich wollte da nur eine Beweisskizze geben. Ist es besser wenn ich es so ausfomuliere?

1 = 3/3
3/3 = 1/3 * 3
3/3 = 0,333...3 * 3
3/3 = 0,999...9
=> 1 = 0,999...9

Das macht halt anschaulich, dass das in der Unendlichkeit halt nur ne andere schreibweise ist und da gleichheit herrscht.

Gruß
Martin

27.12.2010, 18:23

Airblader

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Nein, weil das einfach kein Beweis ist. Siehe den oben von mir nachträglich verlinkten Thread.

air

27.12.2010, 18:26

Martin L

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Gut, dann nennen wir es veranschaulichung des oben stehenden schönen Beweises.

Obwohl, eigentlich verstehe ich nicht, warum das kein Beweis sein sollte? Ich bin ja erst recht kurz im Thema der Beweisführung drin, aber eigentlich macht man doch nur Äquivalenzumformungen.

Also wo ist der formelle Fehler im Beweis?

27.12.2010, 18:30

Airblader

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Nochmal: Dazu kannst du den genannten Thread lesen. Augenzwinkern

Ich zitiere nur mal eine Aussage von Dual Space, die das Ganze mal ganz nüchtern ausdrückt:

Zitat:

Ich frage mich, warum alle Welt ohne mit der Wimper zu zucken glaubt, dass $\begin{eqnarray*} 0,33\overline{3} = \frac13 \end{eqnarray*}$ ? Aber wenn man ihnen dann erzählt das $\begin{eqnarray*} 0,99\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$ ist drehen sie durch und suchen nach argumenten, die dagegen sprechen könnten.

Edit: Bitte sparen wir uns hier diese Diskussionen. Diese Threads ufern regelmäßig in Diskussionen über Pseudobeweise aus. Es geht hier um eine Aufgabe, die soweit korrekt bearbeitet wurde. Für andere Diskussionen sollte man auch andere Threads nutzen.

air

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