Basis des R^4

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Trixter Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des R^4
Meine Frage:
Finde eine Basis des Untervektorraums von aufgespannt durch die Vektoren


Meine Ideen:
Ich muss ja erstmal zeigen dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Also ich hab die Vektoren in eine Matrix gesteckt und in Zeilestufenform gebracht:

--> -->

Und nun? Seh ich da was falsch oder sind die Vektoren jetzt linear unabhängig? Wenn das so ist wär ich dann fertig oder muss ich noch Basen für suchen?

Danke für Eure Hilfe im Voraus.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Schau Dir mal die dritte Zeile deiner Matrix an und dann lies noch mal nach, welcher Zusammenhang zwischen dem Rang der Matrix und der Dimension des von den Spalten erzeugtem Unterraum besteht.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

a) Wie kommst du auf die letzte Zeile?
b) Was ist die Dimension? Erkennst du sie? Die Basis für den UVR von steht ja im Grunde schon da.


Ibn Batuta
Trixter Auf diesen Beitrag antworten »

Ok erstmal danke für die schnellen Antworten Augenzwinkern

Also der Rang dieser Matrix ist ja 3, ist die Dimension des UVR dann auch gleich 3? (Sorry für die dumme Frage, aber ich check das mit den Dimensionen noch nicht so ganz -.-)

@Ibn Batuta: Sorry, hab mich vertippt die Matrix muss nach der ersten Umformung so aussehen:

Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es. Du musst also drei linear unabhängige Vektoren finden.
Welche das sind, kannst Du leicht mit Hilfe der Matrix ablesen.


Edit: Tipfehler korrigiert
Trixter Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut, aber wie lese ich das denn "leicht" ab?
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Na welche Spalte ist denn durch die anderen darstellbar? Fällt da nichts ins Auge?
Trixter Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du etwa:
?

Edit: Oder

?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektoren sind aber doch aus einem 4-dimensionalen Raum, auch wenn sie einen dreidimensionalen erzeugen.
Trixter Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann mein letztes Angebot:


Edit:
Falls das richtig sein sollte, dann bilden die Vektoren:
die Basis des UVR von
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Teil eins ist korrekt, aber die Schlussfolgerung leider nicht.
Wenn das wirklich eine Basis wäre, wie sollte dann der Vektor entstehen?

Du kannst nur folgern, dass der erste, zweite und dritte (Ausgangs)Vektor eine Basis bilden. (Oder z.B. auch erste, zweite und vierte)
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, wenn ich mich nochmal einmische, aber die Basis für den 3-dimensinalen UVR steht schon da:




Ibn Batuta
Trixter Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank Helferlein^^,
habs jetzt geschnallt, muss nur noch zeigen, dass die 3 Vektoren linear unabhängig sind und dann bin ich fertig, denke ich.

MfG Trixter
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