Dimension symmetrischer Matrizen (Beweis)

07.12.2010, 22:24	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension symmetrischer Matrizen (Beweis) Moin ich scheitere gerade daran zu zeigen, dass die Dimension der symmetrischen Matrizen (n*(n-1))/2 ist. Steht bei Wiki aber wie zeig ichs? Ich hab auch schon hin und her überlegt, wie man das verallgemeinern kann, dass man ja eigentlich die hälfte + die halbe diagonale braucht aber irgendwie komm ich von da nich in die formel. habt ihr da nen Tip? Gruß Martin
07.12.2010, 22:45	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh irgendwie stimmt das gar nich ich hab jetz n + (n*(n-1))/2 davor hatte ich die diagonale irgendwie vergessen. aber wie zeigt man, dass das wirklich die dimension ist? Gruß Martin
08.12.2010, 00:38	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, jetzt stimmt es. Im Prinzip hast du den Beweis schon gesagt. Du kannst jeden Eintrag aus dem oberen "Dreieck" der Matrix und die Einträge der Hauptdiagonale frei wählen - und das sind soviele Wahlen wie du es angegeben hast. Formal kannst du sagen, dass die Menge der symmetrischen Matrizen erzeugt wird durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 &0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \dots &\dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0 & 0 & \dots & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 1 &0 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \dots &\dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0 & 0 & \dots & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ 0 &0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \dots &\dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0 & 0 & \dots & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ usw und dann die zweite Zeile $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 0 &1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \dots &\dots & \dots & \dots & \dots \\ 0&0 & 0 & \dots & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ usw. usw. Das sind dann genau so viele Matrizen wie du als freie Wahlen der Einträge der Matrizen ausgerechnet hast. Die lineare Unabhängigkeit ist sehr leicht einzusehen und damit folgt die Behauptung.

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