Induktion einer Ungleichung (Eulersche Zahl und Fakultät)

07.12.2010, 22:37	Corben	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion einer Ungleichung (Eulersche Zahl und Fakultät) Also, hallo erst mal ;-) Ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen: Zeigen Sie via Induktion, dass $\begin{eqnarray} \left(\frac{n}{e} \right)^n \leq n! \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ IA: für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{e} \right)^1 \leq 1! \end{eqnarray}$ IV: $\begin{eqnarray} \left(\frac{n}{e} \right)^n \leq n! \end{eqnarray}$ IS: $\begin{eqnarray} A\left(n+1\right) : \left(\frac{n+1}{e} \right)^{\left(n+1\right)} \leq \left(n+1\right)! \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} \left(n+1\right)!=\left(n+1\right)n!\overset{IV}{\geq}\left(n+1\right)\left(\frac{n}{e}\right)^n \end{eqnarray}$ So und jetzt muss ich doch noch von $\begin{eqnarray} \left(n+1\right)\left(\frac{n}{e}\right)^n \geq\left(\frac{n+1}{e} \right)^{\left(n+1\right)} \end{eqnarray}$ nur wie wird das angestellt, ich denke man muss die Bernoullische Ungleichung anwenden, nur wie? Könnte mir da jemand beim Umstellen helfen? Thx
07.12.2010, 22:53	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion einer Ungleichung (Eulersche Zahl und Fakultät) Was nicht paßt, wird eben passend gemacht: $\begin{eqnarray} (n+1) \cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n = (n+1) \cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n \cdot e} \cdot \frac{n^n \cdot e}{(n+1)^{n+1}} \end{eqnarray}$ Jetzt noch etwas umformen und daran denken, daß $\begin{eqnarray} (\frac{n+1}{n})^n < e \end{eqnarray}$ ist und fertig.
07.12.2010, 23:04	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion einer Ungleichung (Eulersche Zahl und Fakultät) Und ab damit ins Hochschulforum
08.12.2010, 11:14	Corben	Auf diesen Beitrag antworten »
Super!, vielen Dank. einfach das "rechte" e ersetzem und dann zusammen fassen. Top
04.11.2012, 19:53	kurze Bemerkung	Auf diesen Beitrag antworten »
zu kompliziert Anstelle dieses komplizierten Terms könnte man auch einfach e/e nehmen, der Rest kürzt sich nämlich ungenutzt wieder raus. Gruß

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